Неравенства. Свойства числовых неравенств — тренажёр для 8 класса

Определение

Неравенство — это математическое предложение, в котором два выражения соединены одним из знаков сравнения: < (меньше), > (больше), ≤ (меньше или равно), ≥ (больше или равно). Запись 7 > 4 читается «семь больше четырёх», запись x ≤ 3 — «икс меньше или равен трём».

Числовое неравенство содержит только числа и потому является либо истинным (−5 < −2), либо ложным (0 > 1). Алгебраическое неравенство содержит переменную, и вопрос о его истинности решается только после подстановки конкретного значения: 2x + 1 > 7 верно при x = 5 и неверно при x = 0.

Строгое определение сравнения опирается на знак разности: число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a − b положительна. Соответственно a < b означает a − b < 0, а a = b означает a − b = 0. Именно разностное определение превращает сравнение чисел в вычисление, а не в догадку, и служит доказательной базой всех свойств неравенств.

Тема открывает раздел «Неравенства» в курсе 8 класса: сначала изучаются свойства числовых неравенств, затем на их основе строится решение линейных неравенств и их систем.

Ключевые правила

Свойства числовых неравенств позволяют преобразовывать верное неравенство в другое верное неравенство без проверки подстановкой.

1. Антисимметричность (перестановка). Если a > b, то b < a. Части меняются местами вместе со знаком: из 9 > 4 следует 4 < 9.
2. Транзитивность. Если a > b и b > c, то a > c. Из x > 5 и 5 > 2 следует x > 2.
3. Прибавление числа. Если a > b, то a + c > b + c при любом c. Из 8 > 3 следует 8 − 10 > 3 − 10, то есть −2 > −7.
4. Перенос слагаемого. Слагаемое переносится из одной части в другую с противоположным знаком, знак неравенства сохраняется: x + 4 > 9 ⟺ x > 5.
5. Умножение на положительное число. Если a > b и c > 0, то ac > bc. Из 6 > 2 следует 6 · 3 > 2 · 3.
6. Умножение на отрицательное число. Если a > b и c < 0, то ac < bc — знак меняется на противоположный. Из 6 > 2 следует −6 < −2.
7. Сложение неравенств одного знака. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Из 7 > 5 и 10 > 1 следует 17 > 6.
8. Умножение неравенств одного знака при положительных частях. Если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd. Из 5 > 3 и 4 > 2 следует 20 > 6.

Разбор примеров

Пример 1. Доказать, что `a² + b² ≥ 2ab` при любых `a` и `b`. Составляем разность левой и правой частей: a² + b² − 2ab = (a − b)². Квадрат любого числа неотрицателен, значит (a − b)² ≥ 0, и разность неотрицательна. Вывод: доказательство числового неравенства сводится к исследованию знака разности частей.

Пример 2. Известно, что `3 < x < 5` и `1 < y < 2`. Оценить `x + y`. Складываем почленно левые части и правые части: 3 + 1 < x + y < 5 + 2, то есть 4 < x + y < 7. Вывод: неравенства одного знака складываются почленно, границы суммы получаются сложением соответствующих границ.

Пример 3. При тех же условиях оценить `x − y`. Вычитать неравенства нельзя. Умножаем двойное неравенство 1 < y < 2 на −1, меняя знаки: −2 < −y < −1. Складываем с 3 < x < 5 и получаем 1 < x − y < 4. Вывод: разность оценивается через сложение с противоположным неравенством.

Пример 4. При тех же условиях оценить площадь прямоугольника `S = xy`. Все четыре границы положительны, поэтому неравенства перемножаются почленно: 3 · 1 < xy < 5 · 2, то есть 3 < S < 10. Вывод: почленное умножение законно только при положительных частях.

Пример 5. Дано `a > b`. Сравнить `−4a + 1` и `−4b + 1`. Умножаем a > b на −4: знак переворачивается, −4a < −4b. Прибавляем 1 к обеим частям — знак сохраняется: −4a + 1 < −4b + 1. Вывод: множитель определяет поворот знака, слагаемое — нет.

Таблица свойств

Типичные ошибки

Забытая смена знака при умножении на отрицательное число. Ошибка возникает из-за переноса привычек работы с уравнениями, где знак равенства не зависит от множителя. Неправильно: −2x > 8 ⟹ x > −4. Правильно: −2x > 8 ⟹ x < −4.

Почленное вычитание неравенств. Ученик действует по аналогии со сложением. Контрпример: 7 > 5 и 10 > 1, но 7 − 10 = −3, 5 − 1 = 4, и −3 < 4. Правильно: умножить второе неравенство на −1 и сложить.

Умножение неравенств с отрицательными частями. Правило требует положительности всех четырёх частей. Неправильно: из −1 > −5 и 2 > 1 заключить −2 > −5 через произведение отрицательного на положительное без проверки условия. Правильно: сначала убедиться, что b > 0 и d > 0, иначе оценивать произведение перебором знаков.

Деление на выражение с переменной. Из ax > a при неизвестном знаке a вывод x > 1 неверен: при a < 0 получится x < 1, при a = 0 неравенство ложно. Правильно: рассматривать случаи a > 0, a < 0, a = 0 отдельно.

Сложение неравенств разных знаков. Из a > b и c < d сумма a + c с b + d не сравнивается. Правильно: привести оба неравенства к одному знаку перестановкой частей, затем складывать.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте неравенство и определите его тип: числовое (проверяется вычислением) или алгебраическое (содержит переменную).
2. Запишите, что дано, в виде неравенств одного знака; при необходимости переставьте части, изменив знак.
3. Выберите инструмент: для доказательства — разность частей, для оценки выражения — сложение или умножение неравенств.
4. Для доказательства составьте разность левой и правой частей и упростите её до квадрата, произведения или суммы с очевидным знаком.
5. Для оценки суммы сложите почленно; для оценки разности умножьте вычитаемое неравенство на −1 и сложите.
6. Для оценки произведения проверьте положительность всех частей и только затем перемножьте почленно.
7. При умножении или делении на число следите за его знаком: отрицательный множитель переворачивает знак неравенства.
8. Проверьте результат подстановкой конкретных чисел из допустимого диапазона — например, для 3 < x < 5, 1 < y < 2 возьмите x = 4, y = 1,5 и убедитесь, что найденная оценка выполняется.

Как запомнить

• «Минус переворачивает» — умножение и деление обеих частей на отрицательное число меняет > на < и обратно.
• «Плюс не трогает знак» — прибавление и вычитание любого числа знак неравенства сохраняют.
• «Складывать — можно, вычитать — нельзя»: разность заменяется сложением с противоположным неравенством.
• «Умножаем только плюсы»: почленное умножение неравенств требует положительности всех частей.
• Формула-опора для доказательств: a > b ⟺ a − b > 0; сведение к (a − b)² ≥ 0 закрывает большинство школьных задач.