Решение линейных неравенств и систем неравенств с одной переменной — тренажёр для 8 класса

Раздел 1 — Определение

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида *ax > b*, *ax < b*, *ax ≥ b* или *ax ≤ b*, где *x* — переменная, *a* и *b* — заданные числа, изучаемое в курсе алгебры 8 класса.

Решение неравенства — значение переменной, при подстановке которого получается верное числовое неравенство. Число 7 является решением неравенства *2x − 5 > 6*, потому что 2·7 − 5 = 9 и 9 > 6 — истина. Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Множество решений линейного неравенства почти всегда бесконечно, поэтому его записывают не перечислением, а числовым промежутком — отрезком, интервалом или лучом числовой оси. Отсюда двойная форма ответа: штриховка на оси плюс скобочная запись.

Система неравенств — два (или больше) неравенства, объединённых фигурной скобкой, для которых требуется найти общие решения. Решение системы — пересечение промежутков, то есть та часть оси, где штриховки накладываются друг на друга.

Раздел 2 — Ключевые правила

Линейные неравенства решают равносильными преобразованиями, полностью повторяющими преобразования уравнений, за одним исключением — знаком при умножении на отрицательное число.

1. Перенос слагаемого из одной части в другую меняет знак самого слагаемого, но не знак неравенства: из *5x − 7 < 3x* следует *5x − 3x < 7*.
2. Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет знак неравенства: из *4x > 12* следует *x > 3*.
3. Умножение или деление обеих частей на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный: из *−2x > 8* следует *x < −4*.
4. Строгий знак (< , >) даёт выколотую точку и круглую скобку; нестрогий (≤ , ≥) — закрашенную точку и квадратную скобку.
5. У бесконечности скобка всегда круглая: (−∞; 5], [3; +∞).
6. Система решается пересечением: сначала каждое неравенство решается отдельно, затем оба промежутка наносятся на одну ось.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. *5x − 7 < 3x + 5.* Переносим *3x* влево, *−7* вправо: *5x − 3x < 5 + 7*, значит *2x < 12*, делим на 2 (число положительное, знак сохраняется): *x < 6*. Ответ: (−∞; 6) — луч влево от выколотой точки 6. Вывод: деление на положительное число знак не трогает.

Пример 2. *−3x ≥ 12.* Делим обе части на −3: *x ≤ −4*. Знак «≥» превратился в «≤», потому что делитель отрицателен. Ответ: (−∞; −4], точка −4 закрашена. Проверка: x = −5 даёт −3·(−5) = 15 ≥ 12 — верно.

Пример 3 (дроби). *(2x + 1)/3 − (x − 2)/2 ≥ 1.* Умножаем всё на 6 (положительное!): *2(2x + 1) − 3(x − 2) ≥ 6*, раскрываем: *4x + 2 − 3x + 6 ≥ 6*, приводим: *x + 8 ≥ 6*, значит *x ≥ −2*. Ответ: [−2; +∞). Вывод: общий знаменатель убирается умножением, знак остаётся прежним.

Пример 4 (система). Решаем систему *2x − 1 > 3* и *x − 4 ≤ 1*. Первое: *2x > 4*, *x > 2*. Второе: *x ≤ 5*. На оси штрихуем вправо от 2 и влево от 5; общая часть — между 2 и 5. Ответ: (2; 5], точка 2 выколота, точка 5 закрашена.

Пример 5 (пустое множество). Система *x ≥ 4* и *x < 1* даёт две штриховки, которые не имеют ни одной общей точки. Ответ: решений нет, ∅. Вывод: пересечение может оказаться пустым.

Пример 6 (задача). Тетрадь стоит 40 р., ручка — 60 р., у школьника 500 р. Сколько тетрадей он может купить вместе с одной ручкой? Составляем неравенство: *40n + 60 ≤ 500*, откуда *40n ≤ 440*, *n ≤ 11*. Так как *n* — натуральное, получаем 1 ≤ n ≤ 11. Ответ: не более 11 тетрадей.

Раздел 4 — Таблица числовых промежутков

Раздел 5 — Типичные ошибки

Знак не меняют при делении на отрицательное число. Ошибка возникает из-за переноса привычек с уравнений, где знак «=» неизменен. Неправильно: *−2x > 6 → x > −3*. Правильно: *−2x > 6 → x < −3*. Проверка подстановкой x = −4 сразу выявляет ошибку.

Пересечение заменяют объединением. Ученик записывает в ответ обе штриховки целиком. Неправильно: система *x > 2*, *x ≤ 5* → ответ (−∞; 5] ∪ (2; +∞). Правильно: общая часть (2; 5].

Скобка не соответствует знаку. Причина — невнимание к строгости неравенства. Неправильно: *x ≤ 4 → (−∞; 4)*. Правильно: (−∞; 4], граница включена.

Промежуток записан справа налево. Неправильно: (5; 2]. Правильно: в записи слева стоит меньшее число — (2; 5].

Слагаемое переносят без смены знака. Неправильно: *5x − 7 < 3x → 5x + 7 < 3x* ... неверно уже на первом шаге. Правильно: *5x − 3x < 7*.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Раскройте скобки и умножьте обе части на общий знаменатель (положительный), если есть дроби.
2. Перенесите слагаемые с переменной влево, числа — вправо, меняя знак каждого перенесённого слагаемого.
3. Приведите подобные слагаемые и получите вид *ax > b* (или с другим знаком).
4. Разделите обе части на коэффициент *a*; при a < 0 поменяйте знак неравенства.
5. Отметьте границу на числовой оси: выколотая точка при строгом знаке, закрашенная — при нестрогом; заштрихуйте нужный луч.
6. Для системы повторите шаги 1–5 для второго неравенства и нанесите обе штриховки на одну ось.
7. Выделите общую часть штриховок и запишите ответ промежутком (или ∅, если общей части нет).
8. Проверьте: подставьте любое число из ответа в исходное неравенство и одно число извне — первое должно дать верное неравенство, второе неверное.

Раздел 7 — Как запомнить

• «Минус переворачивает» — деление на отрицательное число разворачивает знак, как зеркало: > становится <.
• «Строгий — пустой, нестрогий — полный» — строгий знак даёт пустой кружок и круглую скобку, нестрогий — закрашенный и квадратную.
• «Бесконечность в гости не пускают» — рядом с ∞ скобка только круглая.
• «Система — это И» — решение системы состоит из чисел, подходящих сразу обоим неравенствам, поэтому берут пересечение, а не объединение.
• Контроль знака стрелкой: после получения *x > 3* мысленно ставьте стрелку вправо, после *x < 3* — влево; направление штриховки совпадает с направлением «клюва» знака относительно x.