Свойства квадратных корней — тренажёр для 8 класса

Определение

Свойства квадратных корней — это тождества, связывающие арифметический корень произведения, дроби и степени с корнями отдельных множителей, применяемые в алгебре 8 класса для преобразования иррациональных выражений.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$: $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$. Условие неотрицательности принципиально: под знаком корня отрицательного числа нет, и сам корень отрицательным быть не может.

Место темы в программе — переход от вычисления корней к их преобразованию. До этого раздела ученик находил $\sqrt{49}$; после него он умеет свернуть $\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}$ в $4$ и развернуть $\sqrt{75}$ в $5\sqrt{3}$, то есть работать с корнем как с обычным алгебраическим объектом.

Практическая ценность свойств — приведение выражения к стандартному виду $a\sqrt{b}$, где $b$ не содержит квадратных множителей. Такая форма позволяет сравнивать корни, складывать подобные слагаемые и упрощать дроби.

Ключевые правила

Свойства квадратных корней работают только при неотрицательных подкоренных выражениях — это условие входит в формулировку каждого тождества.

1. Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ при $a \ge 0$, $b \ge 0$. Пример: $\sqrt{36\cdot 4} = 6\cdot 2 = 12$.
2. Произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Пример: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$.
3. Корень из дроби равен частному корней: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$, $b > 0$. Знаменатель строго положителен — деление на ноль исключено. Пример: $\sqrt{\dfrac{49}{81}} = \dfrac{7}{9}$.
4. Корень из квадрата равен модулю: $\sqrt{a^2} = |a|$ при любом $a$. Пример: $\sqrt{(-6)^2} = 6$, а не $-6$.
5. Вынесение множителя из-под знака корня: подкоренное число раскладывают на квадратный множитель и остаток, $\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}$ при $a \ge 0$. Пример: $\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}$.
6. Внесение множителя под знак корня: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ при $a \ge 0$; при $a < 0$ пишут $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$. Пример: $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$, но $-4\sqrt{3} = -\sqrt{48}$.

Разбор примеров

Пример 1. Упрощение $\sqrt{200}$. Раскладываем $200 = 100\cdot 2$, где $100$ — точный квадрат: $\sqrt{200} = \sqrt{100}\cdot\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$. Выбирается наибольший квадратный делитель — иначе преобразование придётся повторять. Вывод: вынесение множителя опирается на свойство корня из произведения.

Пример 2. Произведение $\sqrt{6}\cdot\sqrt{24}$. Отдельно ни один корень не извлекается, но их произведение даёт $\sqrt{6\cdot 24} = \sqrt{144} = 12$. Вывод: свёртка произведения корней в один корень часто превращает иррациональное выражение в целое число.

Пример 3. Корень из дроби $\sqrt{\dfrac{72}{50}}$. Сначала сокращаем дробь: $\dfrac{72}{50} = \dfrac{36}{25}$, затем применяем свойство: $\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \dfrac{6}{5}$. Вывод: сокращение до применения корня экономит вычисления.

Пример 4. Сравнение $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$. Вносим множители под корень: $5\sqrt{3} = \sqrt{75}$, $4\sqrt{5} = \sqrt{80}$. Так как $75 < 80$, то $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$. Вывод: внесение множителя — рабочий инструмент сравнения корней.

Пример 5. Освобождение от иррациональности: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$. Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Вывод: одночленный иррациональный знаменатель убирается умножением на тот же корень.

Пример 6. Сопряжённое выражение: $\dfrac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$. Умножаем обе части дроби на сопряжённое выражение $\sqrt{7}+\sqrt{3}$; в знаменателе работает формула разности квадратов: $(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2 = 7-3 = 4$. Получаем $\dfrac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}+\sqrt{3}$. Вывод: для двучлена с корнями меняют знак между слагаемыми.

Таблица

Типичные ошибки

Корень из суммы разбивают на сумму корней. Ошибка возникает из-за ложной аналогии с произведением: свойство дистрибутивности на корень не переносится. Неправильно: $\sqrt{9+16}=3+4=7$. Правильно: $\sqrt{25}=5$.

Внесение отрицательного множителя под корень со знаком. Ученик механически возводит множитель в квадрат и теряет минус, хотя корень неотрицателен. Неправильно: $-2\sqrt{5}=\sqrt{20}$. Правильно: $-2\sqrt{5}=-\sqrt{20}$.

Замена $\sqrt{a^2}$ на $a$ без модуля. Причина — привычка «корень и квадрат взаимно уничтожаются». При отрицательном $a$ равенство ложно. Неправильно: $\sqrt{x^2}=x$. Правильно: $\sqrt{x^2}=|x|$.

Неполное вынесение множителя. Выбирают не наибольший квадратный делитель. Неправильно: $\sqrt{72}=2\sqrt{18}$ (остановка на середине). Правильно: $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Сложение неподобных корней. Корни складывают как числа, игнорируя разные подкоренные выражения. Неправильно: $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$. Правильно: сумма не упрощается, а $\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.

Пошаговый алгоритм

1. Определите область допустимых значений: подкоренное выражение $\ge 0$, знаменатель $\ne 0$.
2. Сократите дроби и выполните умножение под корнями, свернув $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ в $\sqrt{ab}$.
3. Разложите каждое подкоренное число на множители, выделив наибольший точный квадрат.
4. Вынесите квадратный множитель из-под корня, записав результат в виде $a\sqrt{b}$.
5. Приведите подобные слагаемые с одинаковым подкоренным выражением.
6. Если корень остался в знаменателе, умножьте числитель и знаменатель на этот корень (одночлен) или на сопряжённое выражение (двучлен).
7. Проверьте результат: подкоренное число не содержит квадратных делителей, знаменатель рационален, приближённое значение исходного и полученного выражений совпадает (например, $\sqrt{50}\approx 7{,}07$ и $5\sqrt{2}\approx 7{,}07$).

Как запомнить

Корень «дружит» с умножением и делением, но враждует со сложением и вычитанием: $\sqrt{ab}$ и $\sqrt{a/b}$ разбиваются, $\sqrt{a+b}$ — никогда.

Направление операции задаёт положение множителя: множитель снаружи → возводим в квадрат и заносим; квадрат внутри → извлекаем и выносим.

Минус перед корнем остаётся сторожем снаружи — внутрь его не пускают, потому что арифметический корень неотрицателен.

Сопряжённое выражение получается сменой одного знака: пара $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ и $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ при перемножении даёт рациональную разность $a-b$.