Квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения — тренажёр для 8 класса

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида *ax² + bx + c = 0*, где *x* — переменная, а *a*, *b*, *c* — заданные числа, причём *a ≠ 0*. Число *a* называют первым (старшим) коэффициентом, *b* — вторым коэффициентом, *c* — свободным членом.

Условие *a ≠ 0* отделяет квадратное уравнение от линейного: при *a = 0* слагаемое с *x²* исчезает и остаётся уравнение *bx + c = 0*. Именно старший член задаёт степень уравнения — вторую, поэтому квадратное уравнение называют уравнением второй степени.

Квадратные уравнения делятся на два класса. Полное квадратное уравнение содержит все три слагаемых (все коэффициенты отличны от нуля), неполное квадратное уравнение имеет хотя бы один из коэффициентов *b* или *c*, равный нулю. Классификация нужна практически: неполные уравнения решаются короткими приёмами, полные — через дискриминант.

Тема замыкает линию «уравнения» основной школы: к ней сводятся дробно-рациональные уравнения, задачи на движение и работу, а в 9 классе — квадратные неравенства и исследование парабол.

Ключевые правила

Число корней квадратного уравнения и сами корни определяются дискриминантом *D = b² − 4ac* — выражением, составленным из коэффициентов уравнения.

1. Формула корней: при *D ≥ 0* корни находят по формуле *x = (−b ± √D) / (2a)*. Пример: для *x² − 5x + 6 = 0* получаем *D = 1*, *x = (5 ± 1)/2*, то есть 3 и 2.
2. Знак дискриминанта задаёт количество корней: *D > 0* — два различных корня; *D = 0* — один корень *x = −b/(2a)*; *D < 0* — действительных корней нет.
3. Уравнение ax² = 0 имеет единственный корень *x = 0*, так как произведение равно нулю только при нулевом множителе: *7x² = 0 ⇒ x = 0*.
4. Уравнение ax² + c = 0 приводится к виду *x² = −c/a*. Корни *x = ±√(−c/a)* существуют при *−c/a > 0*; при *−c/a < 0* корней нет: *x² = −4* невозможно.
5. Уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением *x* за скобки: *x(ax + b) = 0*, откуда *x = 0* или *x = −b/a*. Два корня есть всегда.
6. Стандартный вид обязателен: дискриминант вычисляют только после переноса всех слагаемых в левую часть и приведения подобных.

Разбор примеров

Пример 1. 3x² = 0. Коэффициенты *b = 0* и *c = 0*, уравнение неполное простейшего вида. Делим обе части на 3: *x² = 0*, значит *x = 0*. Вывод: уравнение *ax² = 0* при любом *a ≠ 0* даёт ровно один корень — ноль.

Пример 2. 2x² − 18 = 0. Здесь *b = 0*. Переносим свободный член: *2x² = 18*, делим на 2: *x² = 9*. Квадрат равен 9 у двух чисел, поэтому *x₁ = 3*, *x₂ = −3*. Вывод: положительная правая часть даёт пару противоположных корней.

Пример 3. 2x² + 8 = 0. Получаем *x² = −4*. Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому решений нет. Вывод: знак числа *−c/a* решает судьбу уравнения *ax² + c = 0*.

Пример 4. 5x² − 10x = 0. Здесь *c = 0*. Выносим общий множитель: *x(5x − 10) = 0*. Произведение равно нулю, когда *x = 0* либо *5x − 10 = 0*, откуда *x₂ = 2*. Вывод: корень *x = 0* принадлежит любому уравнению без свободного члена.

Пример 5. x² − 7x + 12 = 0. Уравнение полное: *a = 1*, *b = −7*, *c = 12*. Дискриминант: *D = (−7)² − 4·1·12 = 49 − 48 = 1 > 0*. Корни: *x = (7 ± 1)/2*, то есть *x₁ = 4*, *x₂ = 3*. Проверка подстановкой: *16 − 28 + 12 = 0*. Вывод: положительный дискриминант — два различных корня.

Пример 6. 4x² − 12x + 9 = 0. Дискриминант: *D = 144 − 4·4·9 = 144 − 144 = 0*. Единственный корень: *x = 12/8 = 1,5*. Вывод: нулевой дискриминант даёт один корень, равный *−b/(2a)*.

Пример 7. 2x² + x + 3 = 0. Дискриминант: *D = 1 − 4·2·3 = 1 − 24 = −23 < 0*. Извлечь квадратный корень из отрицательного числа нельзя, корней нет. Вывод: вычисление дискриминанта завершает решение, если он отрицателен.

Таблица видов и признаков

Типичные ошибки

Потеря корня при делении на x. Ученик из *5x² − 10x = 0* делит обе части на *x* и получает единственный корень 2. Деление на переменную допустимо только при *x ≠ 0*, а ноль как раз является корнем. Неправильно: *x = 2*. Правильно: *x(5x − 10) = 0*, корни 0 и 2.

Ошибка знака в дискриминанте. При отрицательных *b* или *c* забывают о правиле знаков. Для *x² − 3x − 4 = 0* неправильно: *D = 9 − 16 = −7*. Правильно: *D = (−3)² − 4·1·(−4) = 9 + 16 = 25*, корни 4 и −1.

Деление на 2a только части числителя. Формула записывается как дробь целиком. Для *2x² − 5x + 2 = 0* (*D = 9*) неправильно: *x = −5 + 3/4*. Правильно: *x = (5 ± 3)/4*, то есть 2 и 0,5.

Извлечение корня из отрицательного дискриминанта. При *D = −23* пишут *√D ≈ −4,8*. Квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел не определён. Правильный ответ: корней нет.

Вычисление дискриминанта до приведения к стандартному виду. Из *x² = 5x − 6* берут *a = 1, b = 0, c = 0*. Правильно: перенести всё влево — *x² − 5x + 6 = 0*, тогда *b = −5*, *c = 6*, *D = 1*, корни 3 и 2.

Пошаговый алгоритм

1. Перенесите все слагаемые в левую часть и приведите подобные — получите вид *ax² + bx + c = 0*.
2. Выпишите коэффициенты *a*, *b*, *c* вместе со знаками.
3. Проверьте, есть ли нули среди *b* и *c*: при наличии нуля решайте уравнение как неполное (вынесение множителя или *x² = −c/a*).
4. Для полного уравнения вычислите дискриминант *D = b² − 4ac*.
5. Сравните *D* с нулём: при *D < 0* запишите «корней нет» и завершите решение.
6. При *D = 0* найдите единственный корень *x = −b/(2a)*.
7. При *D > 0* извлеките *√D* и вычислите оба корня по формуле *x = (−b ± √D)/(2a)*.
8. Подставьте найденные корни в исходное уравнение: верное числовое равенство подтверждает ответ.

Как запомнить

Формула читается как единая фраза: «минус бэ плюс-минус корень из дискриминанта — делить на два а». Дробная черта проходит под всем числителем — записывайте её длиной во всю строку, тогда третья типичная ошибка исчезает.

Дискриминант в переводе с латыни — «различитель»: он различает случаи «два корня — один корень — ни одного». Порядок знаков запоминается по цепочке: плюс → два, ноль → один, минус → ноль корней.

Для неполных уравнений работает ориентир по пропавшей букве: пропал *c* — выносим *x* за скобки; пропал *b* — переносим *c* вправо и извлекаем корень.