Сложение и вычитание рациональных дробей — тренажёр для 8 класса

Определение

Рациональная дробь — алгебраическое выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены, а знаменатель Q не равен нулю. Сложение и вычитание рациональных дробей — операции, которые превращают сумму или разность нескольких дробей в одну дробь того же вида.

Правила этих операций дословно повторяют правила действий с обыкновенными числовыми дробями: одинаковые знаменатели складываются «через числители», разные — приводятся к общему. Разница только в том, что вместо чисел в числителе и знаменателе стоят многочлены, а значит, к результату применяются разложение на множители и сокращение.

Место темы в курсе 8 класса — переход от преобразований целых выражений к преобразованиям дробных. Умение сложить две дроби нужно дальше для решения дробно-рациональных уравнений, для работы с формулой пути при движении по реке и с задачами на совместную работу.

Ключевые правила

Сложение и вычитание рациональных дробей подчиняются пяти правилам, каждое из которых работает при условии, что знаменатели не обращаются в нуль.

1. Одинаковые знаменатели: a/c ± b/c = (a ± b)/c. Знаменатель переписывается без изменений, действие выполняется только с числителями. Пример: 2x/(x+1) + 5/(x+1) = (2x+5)/(x+1).
2. Скобки при вычитании: числитель вычитаемой дроби берётся в скобки целиком, затем знак минус раскрывается. Пример: (4x)/(y) − (x−3)/(y) = (4x − (x−3))/y = (3x+3)/y.
3. Разные знаменатели: дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) — произведению всех различных множителей знаменателей в наибольших встречающихся степенях. Пример: для 6x² и 4x³ НОЗ равен 12x³.
4. Дополнительный множитель: НОЗ делится на знаменатель дроби, полученное частное умножается на числитель. Пример: 5/(6x²) при НОЗ 12x³ даёт 10x/(12x³).
5. Сокращение результата: числитель и знаменатель раскладываются на множители, общие множители сокращаются. Сокращать можно только множители, но не слагаемые.

Разбор примеров

Пример 1. 3x/(x+2) + 6/(x+2) = (3x+6)/(x+2) = 3(x+2)/(x+2) = 3. Знаменатели совпали, числители сложились. В числителе вынесен общий множитель 3, скобка (x+2) сократилась. Вывод: результат сложения дробей может оказаться целым выражением, но ограничение x ≠ −2 сохраняется.

Пример 2. (7x−4)/(x²−9) − (2x+5)/(x²−9) = (7x − 4 − 2x − 5)/(x²−9) = (5x−9)/((x−3)(x+3)). Числитель вычитаемого взят в скобки, при раскрытии оба знака изменились на противоположные. Разложение x²−9 = (x−3)(x+3) показывает, что сокращения нет. Вывод: минус перед дробью действует на весь числитель.

Пример 3. 2/(3x) + 5/(6x²) = 4x/(6x²) + 5/(6x²) = (4x+5)/(6x²). НОЗ найден как НОК коэффициентов 3 и 6 (равен 6), умноженный на x в наибольшей степени — x². Дополнительный множитель первой дроби: 6x² : 3x = 2x. Вывод: числовые коэффициенты и буквенные множители обрабатываются отдельно.

Пример 4. 1/(x−3) − 6/(x²−9) = (x+3)/((x−3)(x+3)) − 6/((x−3)(x+3)) = (x−3)/((x−3)(x+3)) = 1/(x+3). Знаменатель x²−9 разложен на множители, после чего НОЗ виден сразу. Вывод: разложение знаменателей на множители предшествует поиску общего знаменателя.

Пример 5 (уравнение). x/(x−2) − 8/(x²−4) = 1. Область допустимых значений: x ≠ 2 и x ≠ −2. Умножаем обе части на (x−2)(x+2): x(x+2) − 8 = x² − 4, отсюда x² + 2x − 8 = x² − 4, 2x = 4, x = 2. Корень не входит в ОДЗ, значит, уравнение решений не имеет. Вывод: проверка корня по ОДЗ обязательна.

Пример 6 (задача). Катер прошёл 30 км по течению и 30 км против течения; собственная скорость v км/ч, скорость реки 2 км/ч. Общее время: 30/(v+2) + 30/(v−2) = (30(v−2) + 30(v+2))/((v+2)(v−2)) = 60v/(v²−4). Вывод: сложение дробей даёт компактную формулу, пригодную для составления уравнения.

Таблица

Типичные ошибки

Потеря скобок при вычитании. Знак минус относится ко всему числителю, а не к первому слагаемому. Неправильно: (5x)/(y) − (2x−1)/y = (5x − 2x − 1)/y. Правильно: (5x − 2x + 1)/y = (3x+1)/y.

Сокращение слагаемых вместо множителей. Сокращение — деление числителя и знаменателя на общий множитель, поэтому «зачёркивать» части суммы нельзя. Неправильно: (x+3)/3 = x. Правильно: (x+3)/3 не сокращается, а (3x+9)/3 = 3(x+3)/3 = x+3.

Перемножение знаменателей вместо НОК. Знаменатель раздувается, дробь потом трудно сократить. Неправильно: 1/(x−1) + 1/(x²−1) → знаменатель (x−1)(x²−1). Правильно: НОЗ = (x−1)(x+1).

Умножение только числителя при приведении. Дополнительный множитель применяется к числителю, а знаменатель заменяется на НОЗ целиком. Неправильно: 5/(6x²) = 10x/(6x²). Правильно: 5/(6x²) = 10x/(12x³).

Игнорирование ОДЗ в уравнениях. Умножение на выражение с переменной добавляет посторонние корни. Правильный порядок: сначала выписать запреты на знаменатели, в конце сверить найденные значения с ними.

Пошаговый алгоритм

1. Разложить каждый знаменатель на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения).
2. Записать ОДЗ: перечислить значения переменной, при которых любой знаменатель равен нулю.
3. Найти НОЗ — произведение всех различных множителей в наибольших степенях.
4. Вычислить дополнительный множитель для каждой дроби делением НОЗ на её знаменатель.
5. Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.
6. Записать одну дробь: сумма (разность) числителей в скобках над общим знаменателем.
7. Раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые.
8. Разложить числитель на множители и сократить дробь.
9. Проверить результат: подставить допустимое число (например, x = 1) в исходное выражение и в ответ — значения должны совпасть.

Как запомнить

• «Знаменатель один — числители в бой»: при равных знаменателях меняется только верх.
• «Минус — сторож скобок»: перед вычитанием числитель вычитаемого сразу заключается в скобки.
• «Сначала разложи, потом ищи общий»: множители знаменателей видны только после факторизации.
• «Сокращаем произведение, не сумму»: между сокращаемыми частями должен стоять знак умножения.
• Формулы-опоры: a/c ± b/c = (a±b)/c; a/b ± c/d = (ad ± bc)/(bd) при взаимно простых b и d.
• Контроль в уравнении: найденный корень сравнивается с ОДЗ до записи ответа.