Рациональные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей — тренажёр для 8 класса

Определение

Рациональная дробь — это алгебраическое выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены, а Q не равен нулю тождественно. Числитель и знаменатель такой дроби записываются буквами и числами, соединёнными сложением, вычитанием и умножением, а сама черта дроби означает деление.

Рациональное выражение объединяет целые выражения (многочлены, где деления на переменную нет) и дробные (где переменная стоит в знаменателе). Выражение 3x² − 5x целое, выражение (x + 1)/(x − 4) дробное; оба относятся к рациональным, потому что построены только четырьмя арифметическими действиями.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной — множество значений, при которых выражение имеет смысл. Деление на нуль в математике не определено, поэтому из ОДЗ исключаются корни знаменателя. Тема служит фундаментом для всей 8-й четверти алгебры: без сокращения дробей невозможны ни действия с ними, ни дробно-рациональные уравнения.

Ключевые правила

Основное свойство дроби утверждает: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же выражение, не равное нулю, — значение дроби при этом не изменится.

1. Формальная запись свойства: P/Q = (P·M)/(Q·M) при M ≠ 0. Например, 2/(x − 1) = (2x)/(x(x − 1)) при x ≠ 0.
2. Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на общий множитель. Сокращать разрешено только множители, а не слагаемые: (5a)/(5b) = a/b, но (5 + a)/(5 + b) не сокращается.
3. Знак минус можно переносить: −P/Q = P/(−Q) = −(P/Q). Отсюда полезное равенство a − b = −(b − a), которое превращает «перевёрнутые» скобки в одинаковые.
4. ОДЗ определяется по исходной дроби, до всех преобразований. Для (x² − 4)/(x − 2) ОДЗ: x ≠ 2, хотя после сокращения останется x + 2.
5. Приведение к общему знаменателю: знаменатели раскладывают на множители, берут произведение всех различных множителей в наибольших степенях, для каждой дроби находят дополнительный множитель.

Разбор примеров

Пример 1. Сокращение одночленов. Дробь (12a³b²)/(18a b⁵). Числовые коэффициенты делятся на 6, степени с одинаковым основанием — вычитанием показателей: a³ : a = a², b⁵ : b² = b³. Результат: (2a²)/(3b³), ОДЗ: a ≠ 0, b ≠ 0. Вывод: сокращение одночленов сводится к делению коэффициентов и степеней.

Пример 2. Разность квадратов и полный квадрат. Дробь (a² − 9)/(a² + 6a + 9). Числитель раскладывается как (a − 3)(a + 3), знаменатель — как (a + 3)². Общий множитель (a + 3) сокращается, остаётся (a − 3)/(a + 3), ОДЗ: a ≠ −3. Вывод: сокращение начинается с разложения на множители, а не с попытки «зачеркнуть» одинаковые буквы.

Пример 3. Противоположные скобки. Дробь (2x − 6)/(9 − x²). Числитель: 2(x − 3). Знаменатель: (3 − x)(3 + x). Заменяем 3 − x = −(x − 3), получаем 2(x − 3)/(−(x − 3)(3 + x)) = −2/(3 + x), ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ −3. Вывод: вынесение минуса делает множители одинаковыми.

Пример 4. Область допустимых значений. Для дроби (x + 7)/(x² − 5x + 6) решаем x² − 5x + 6 = 0. По теореме Виета корни 2 и 3, значит ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ 3. Вывод: ОДЗ ищется как решение уравнения «знаменатель равен нулю» с последующим исключением корней.

Пример 5. Общий знаменатель. Дроби 1/(x² − 4) и 3/(2x + 4). Раскладываем: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), 2x + 4 = 2(x + 2). Наименьший общий знаменатель — 2(x − 2)(x + 2). Дополнительные множители: 2 и (x − 2). Получаем 2/(2(x − 2)(x + 2)) и 3(x − 2)/(2(x − 2)(x + 2)), ОДЗ: x ≠ ±2. Вывод: дополнительный множитель равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Таблица

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых. Запись (x + 4)/(x + 7) = 4/7 возникает из привычки «зачёркивать одинаковое». Черта дроби заменяет деление всего числителя целиком, поэтому делить можно только множители. Неправильно: (x + 4)/(x + 7) = 4/7. Правильно: дробь несократима.

Потеря ОДЗ после сокращения. Ученик пишет (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 и считает выражение определённым при любом x. Ограничение задаёт исходный знаменатель. Правильно: x + 1 при x ≠ 1.

Знак при перестановке скобок. Замена (3 − a) на (a − 3) без минуса меняет значение дроби на противоположное. Правильно: (3 − a) = −(a − 3), минус выносится перед дробью.

Неполное разложение знаменателя. Для 2x + 4 берут общим знаменателем (x + 2), забыв множитель 2. Дополнительный множитель тогда вычисляется неверно. Правильно: 2x + 4 = 2(x + 2), общий знаменатель содержит и число 2.

Приравнивание нулю числителя при поиске ОДЗ. Нуль в числителе допустим: дробь просто равна нулю. Ограничения даёт только знаменатель.

Пошаговый алгоритм

1. Определите знаменатель исходной дроби и запишите его без изменений.
2. Приравняйте знаменатель к нулю и решите полученное уравнение.
3. Запишите ОДЗ, исключив найденные корни.
4. Разложите числитель на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, разложение квадратного трёхчлена).
5. Разложите знаменатель тем же способом.
6. Приведите противоположные скобки к одинаковому виду, вынося минус.
7. Разделите числитель и знаменатель на все общие множители.
8. Для нескольких дробей составьте общий знаменатель из различных множителей в наибольших степенях и умножьте каждую дробь на свой дополнительный множитель.
9. Проверьте результат: подставьте любое допустимое число (например, x = 1) в исходную и в полученную дробь — значения обязаны совпасть.

Как запомнить

• «Множитель — сокращай, слагаемое — не трогай» — короткая формула главной ошибки.
• «Сначала на множители, потом на сокращение» — порядок действий: разложение всегда предшествует делению.
• «ОДЗ снимают с оригинала» — ограничения фиксируются до преобразований.
• Минус-переворот: a − b = −(b − a); знак «выпрыгивает» из скобки один раз.
• Дополнительный множитель = (общий знаменатель) : (свой знаменатель) — деление, а не угадывание.