Элементы статистики и комбинаторики — тренажёр для 7 класса

Определение

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий способы подсчёта числа вариантов при выборе и расстановке элементов конечного множества. В школьном курсе алгебры 7 класса комбинаторика даёт инструмент для ответа на вопрос «сколькими способами?» без прямого перебора всех случаев.

Рядом с комбинаторикой в программе стоит статистика — наука о сборе, обработке и интерпретации числовых данных. Связующим звеном между двумя разделами служит относительная частота события — доля опытов, в которых событие наступило, от общего числа опытов.

Основных задач четыре: подсчёт вариантов по правилу произведения, подсчёт перестановок, размещений и сочетаний. Каждая формула отвечает на свой вопрос: важен ли порядок элементов и берутся ли все элементы или только часть.

Ключевые правила

Комбинаторные формулы выбираются по двум признакам: сколько элементов берётся (все или часть) и учитывается ли порядок.

1. Правило произведения. Если первый объект выбирается m способами, а второй — независимо n способами, то пара выбирается m · n способами. Пример: 4 куртки и 3 шапки дают 4 · 3 = 12 комплектов.
2. Факториал. n! = 1 · 2 · 3 · … · n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. По определению 0! = 1 и 1! = 1. Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
3. Перестановки. Pₙ = n! — число способов расставить в ряд все n различных элементов. Пример: 3 флага в ряд дают P₃ = 6 расстановок.
4. Размещения. Aₙᵏ = n! / (n − k)! — число способов выбрать k элементов из n с учётом порядка. Пример: A₅² = 120 / 6 = 20.
5. Сочетания. Cₙᵏ = n! / (k! · (n − k)!) — число способов выбрать k элементов из n без учёта порядка. Связь формул: Cₙᵏ = Aₙᵏ / k!.
6. Относительная частота. W = m / N, где m — число появлений события, N — общее число испытаний. Значение W всегда лежит между 0 и 1.

Разбор примеров

Пример 1. Правило произведения. В столовой 3 первых блюда, 5 вторых и 2 напитка. Сколько разных обедов из трёх блюд можно составить? Решение: 3 · 5 · 2 = 30. Здесь выборы независимы: любой суп сочетается с любым вторым и любым напитком, поэтому количества перемножаются, а не складываются. Вывод: слово «и» между этапами выбора означает умножение.

Пример 2. Перестановки. Сколькими способами 6 учеников встанут в очередь? Решение: P₆ = 6! = 720. Первое место занимает любой из 6, второе — любой из оставшихся 5 и так далее: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Вывод: перестановка — частный случай правила произведения, когда используются все элементы.

Пример 3. Размещения. Из 8 спортсменов определяют золото, серебро и бронзу. Сколько исходов? Решение: A₈³ = 8! / 5! = 8 · 7 · 6 = 336. Порядок принципиален: пара «Иванов — золото, Петров — серебро» отличается от обратной. Вывод: если места (роли) различны, работает формула размещений.

Пример 4. Сочетания. Из 8 спортсменов выбирают 3 в сборную без распределения ролей. Решение: C₈³ = 336 / 3! = 336 / 6 = 56. Каждый состав из трёх человек был посчитан в размещениях 3! = 6 раз, поэтому результат делится на 6. Вывод: сочетания меньше размещений ровно в k! раз.

Пример 5. Относительная частота. Кнопку подбрасывали 400 раз, остриём вверх она упала 148 раз. Решение: W = 148 / 400 = 0,37 = 37 %. Вывод: относительная частота вычисляется по фактическим данным опыта и меняется от серии к серии, приближаясь к вероятности при росте числа испытаний.

Таблица

Типичные ошибки

Смешение размещений и сочетаний. Ошибка возникает из-за невнимания к слову «порядок» в условии. Неправильно: выбор 2 дежурных из 10 считать как A₁₀² = 90. Правильно: дежурные равноправны, порядок не важен, C₁₀² = 45.

Сложение вместо умножения. Причина — путаница союзов «и» и «или». Неправильно: 3 рубашки и 4 галстука дают 3 + 4 = 7 комплектов. Правильно: 3 · 4 = 12, поскольку выбирается пара, а не один предмет.

Вычисление 0! как нуля. Ошибка следует из аналогии с умножением на ноль. Правильно: 0! = 1 по определению, поэтому Aₙⁿ = n! / 0! = n!.

Полное раскрытие факториалов. Раскрытие 12! приводит к громоздким числам и арифметическим сбоям. Правильно: сокращать дробь сразу — A₁₂² = 12! / 10! = 12 · 11 = 132.

Подмена частоты вероятностью. Неправильно: «монета выпала орлом 53 раза из 100, значит вероятность орла 0,53». Правильно: 0,53 — относительная частота в данной серии; вероятность равна 0,5.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и определите, что именно подсчитывается: комбинации объектов или доля исходов опыта.
2. Для опыта выпишите m (число появлений события) и N (число испытаний), вычислите W = m / N.
3. Для комбинаторной задачи определите n — общее число элементов — и k — сколько берётся.
4. Ответьте на вопрос: меняется ли результат при перестановке выбранных элементов? Да — размещения, нет — сочетания, k = n — перестановки.
5. Проверьте, разбивается ли выбор на независимые этапы; при наличии этапов примените правило произведения.
6. Подставьте числа в формулу, сократив факториалы до вычисления.
7. Проверьте результат: число вариантов — целое положительное, Cₙᵏ < Aₙᵏ, а относительная частота удовлетворяет неравенству 0 ≤ W ≤ 1.

Как запомнить

Ключ к выбору формулы прячется в корне слова: раз-МЕЩ-ение — «размещаем по местам», места различны, порядок важен; со-ЧЕТ-ание — «сочетаем в состав», состав един, порядок безразличен.

Опорная связка формул: Pₙ = n!, Aₙᵏ = Pₙ / (n − k)!, Cₙᵏ = Aₙᵏ / k!. Каждая следующая формула получается делением предыдущей — запоминается одна цепочка вместо трёх записей.

Слова-маркеры условия: «в ряд», «по порядку», «расписание» → перестановки или размещения; «команда», «комиссия», «букет», «набор» → сочетания; «сколько раз из скольких» → относительная частота m / N.