Алгебраические выражения и тождества — тренажёр для 7 класса

Определение

Алгебраическое выражение — это математическая запись, составленная из чисел, переменных, знаков арифметических действий и скобок, применяемая в алгебре для описания зависимости результата от значений переменных. Запись 5a − 3b, (x + 2)/4, 7 — примеры алгебраических выражений.

Разделение выражений опирается на один признак — наличие букв. Числовое выражение содержит только числа и знаки действий (12 : 4 + 3·5), и его всегда можно довести до единственного числа — значения выражения. Буквенное выражение содержит переменные (2m − n), поэтому своё значение получает лишь после подстановки конкретных чисел вместо букв.

Два выражения, принимающие равные значения при любых допустимых значениях переменных, связывает тождество — равенство, верное всегда, а не при отдельных числах. Замену выражения на тождественно равное ему называют тождественным преобразованием; именно такие преобразования лежат в основе решения уравнений, работы с формулами и всей алгебры 7–11 классов.

Ключевые правила

Тождественные преобразования опираются на законы сложения и умножения, поэтому каждое действие с выражением обязано сохранять его значение при всех допустимых переменных.

1. Раскрытие скобок со знаком «+»: скобки убираются, знаки слагаемых сохраняются. a + (b − c) = a + b − c.
2. Раскрытие скобок со знаком «−»: каждое слагаемое меняет знак на противоположный. a − (b − c) = a − b + c.
3. Распределительный закон: множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое. 3(2x − 5) = 6x − 15.
4. Приведение подобных слагаемых: складываются коэффициенты слагаемых с одинаковой буквенной частью. 7y − 4y = (7 − 4)y = 3y.
5. Порядок подстановки: при вычислении значения число подставляется вместо буквы в скобках, затем выполняются действия по приоритету. При a = −3 запись a² даёт (−3)² = 9.
6. Допустимые значения: переменная не может обращать знаменатель в нуль. В выражении 8/(x − 5) значение x = 5 недопустимо.

Разбор примеров

Пример 1. Вычислить `3a²b − 5ab` при `a = −2`, `b = 0,5`. Подстановка даёт 3·(−2)²·0,5 − 5·(−2)·0,5 = 3·4·0,5 + 5 = 6 + 5 = 11. Квадрат отрицательного числа положителен, а произведение двух минусов дало плюс. Вывод: подставляемое отрицательное число берётся в скобки, иначе знак теряется.

Пример 2. Упростить `4(2x − 3) − 3(x − 5)`. Раскрываем скобки: 8x − 12 − 3x + 15. Множитель −3 умножился и на x, и на −5, поэтому получилось +15. Приводим подобные: (8x − 3x) + (−12 + 15) = 5x + 3. Вывод: минус перед скобкой распространяется на все слагаемые внутри неё.

Пример 3. Доказать тождество `5(2y − 1) − 3(3y − 2) = y + 1`. Преобразуем левую часть: 10y − 5 − 9y + 6 = y + 1. Левая часть совпала с правой, значит равенство верно при любом y. Вывод: метод равносильных преобразований состоит в приведении одной части к виду другой.

Пример 4. Вычислить `7m − 2(3m − 4)` при `m = 19`. Сначала упрощаем: 7m − 6m + 8 = m + 8. Затем подставляем: 19 + 8 = 27. Вывод: упрощение до подстановки сокращает вычисления и уменьшает риск арифметической ошибки.

Пример 5. Найти допустимые значения переменной в выражении `12/(x − 3)`. Знаменатель обращается в нуль при x = 3, деление на нуль не определено. Допустимы все числа, кроме 3. Вывод: тождество проверяется только на допустимых значениях переменной.

Таблица

Типичные ошибки

Потеря знака при раскрытии скобок. Ошибка возникает из-за привычки менять знак только у первого слагаемого. Неправильно: a − (2b − 3c) = a − 2b − 3c. Правильно: a − 2b + 3c.

Сложение неподобных слагаемых. Причина — ориентир на числа, а не на буквенную часть. Неправильно: 3x + 2y = 5xy. Правильно: 3x + 2y — выражение уже упрощено, слагаемые не подобны.

Подстановка отрицательного числа без скобок. При x = −4 запись −x² ошибочно превращают в 16. Правильно: −(−4)² = −16, поскольку возведение в степень выполняется раньше вычитания.

Умножение множителя только на первое слагаемое. Неправильно: 5(a + 2b) = 5a + 2b. Правильно: 5a + 10b — распределительный закон охватывает каждое слагаемое скобки.

Перенос слагаемых между частями при доказательстве тождества. Тождество доказывают преобразованием одной части, а не действиями с обеими сразу: сначала упрощают левую часть, затем сравнивают с правой.

Пошаговый алгоритм

1. Определите тип задания: вычислить значение, упростить или доказать тождество.
2. Найдите допустимые значения переменной, если в выражении есть дробь с буквой в знаменателе.
3. Раскройте скобки, применяя распределительный закон и правило знаков.
4. Отметьте подобные слагаемые одинаковыми пометками (подчёркиванием, цветом).
5. Сложите коэффициенты подобных слагаемых, буквенную часть оставьте без изменения.
6. Запишите упрощённое выражение в стандартном виде: сначала слагаемые с переменными, затем свободный член.
7. Подставьте заданные числа в скобках, если требуется найти значение.
8. Проверьте результат: подставьте любое удобное число (например, x = 1) в исходное и полученное выражения — значения обязаны совпасть.

Как запомнить

Правило знака перед скобкой сжимается до формулы «минус меняет всех»: −(...) переворачивает знак каждого слагаемого внутри.

Признак подобных слагаемых удерживает вопрос «одинаковый ли хвост?»: 4ab и 7ab — хвост ab совпал, складываем; 4ab и 7a — не складываем.

Слово тождество родственно словосочетанию «то же самое»: левая и правая части — одно и то же выражение в разной записи, поэтому проверка одним числом опровергает ложное тождество, но не доказывает истинное.