Линейные уравнения с одним неизвестным — тренажёр для 7 класса

Определение

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax = b, где x — переменная (неизвестное), a и b — заданные числа, называемые коэффициентами. Запись ax = b считается стандартной формой: слева стоит произведение коэффициента на переменную, справа — свободный член.

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти все его корни либо доказать, что корней нет.

Место темы в курсе алгебры 7 класса определяется её служебной ролью: линейное уравнение — базовый инструмент для текстовых задач, для систем уравнений в 7–8 классах и для квадратных уравнений, которые часто сводятся к линейным множителям. Все уравнения, приводимые к виду ax = b тождественными преобразованиями, называются сводящимися к линейным.

Ключевые правила

Линейное уравнение решается только равносильными преобразованиями — действиями, которые не изменяют множество корней.

1. Перенос слагаемого через знак равенства меняет его знак. Из 7x − 4 = 12 следует 7x = 12 + 4. Обоснование: к обеим частям прибавили число 4.
2. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Из 4x = 16 следует x = 4 (деление на 4). Деление на ноль запрещено, поэтому шаг x = b : a законен лишь при a ≠ 0.
3. Скобки раскрываются по распределительному закону, причём минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри: −2(x + 4) = −2x − 8.
4. Дробные коэффициенты устраняются умножением обеих частей на наименьшее общее кратное знаменателей. В уравнении со знаменателями 3 и 4 умножают обе части на 12.
5. Число корней зависит от коэффициентов `a` и `b`. При a ≠ 0 корень единственный: x = b/a. При a = 0, b ≠ 0 корней нет. При a = 0, b = 0 корень — любое число.

Разбор примеров

Пример 1. `7x − 4 = 3x + 12`. Переносим слагаемые с переменной влево, числа вправо: 7x − 3x = 12 + 4. Приводим подобные: 4x = 16 — стандартная форма получена. Делим на 4: x = 4. Проверка: 7·4 − 4 = 24 и 3·4 + 12 = 24, равенство верное. Вывод: разделение слагаемых по частям равенства — главный шаг приведения к ax = b.

Пример 2 (со скобками). `5(x − 3) − 2(x + 4) = 7`. Раскрываем скобки: 5x − 15 − 2x − 8 = 7. Приводим подобные слева: 3x − 23 = 7, далее 3x = 30, x = 10. Проверка: 5·7 − 2·14 = 35 − 28 = 7. Вывод: скобки раскрывают до переноса слагаемых, иначе теряется знак второго множителя.

Пример 3 (с дробями). `(2x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1`. НОК знаменателей 3 и 4 равно 12; умножаем на 12 каждое слагаемое: 4(2x − 1) − 3(x + 2) = 12. Раскрываем: 8x − 4 − 3x − 6 = 12, значит 5x = 22, x = 4,4. Проверка: 7,8/3 − 6,4/4 = 2,6 − 1,6 = 1. Вывод: множитель НОК применяется ко всем частям равенства, включая правую.

Пример 4 (особые случаи). `3(x − 2) = 3x + 5`. После раскрытия: 3x − 6 = 3x + 5, после переноса: 0·x = 11. Ни одно число не даёт слева 11, корней нет. Для сравнения 2(x + 1) = 2x + 2 даёт 0·x = 0 — верно при любом x. Вывод: исчезновение переменной не является ошибкой, а сигнализирует об особом случае.

Пример 5 (текстовая задача). Периметр прямоугольника 42 см, длина на 5 см больше ширины. Ширину обозначаем x см, тогда длина x + 5 см. Уравнение: 2(x + x + 5) = 42, откуда 4x + 10 = 42, 4x = 32, x = 8. Ширина 8 см, длина 13 см. Проверка по условию: 2(8 + 13) = 42. Вывод: за x берут ту величину, через которую проще выразить остальные.

Таблица: анализ уравнения ax = b

Типичные ошибки

Потеря знака при переносе. Ошибка возникает из-за механического переписывания слагаемого. Неправильно: из 2x − 5 = 9 получить 2x = 9 − 5. Правильно: 2x = 9 + 5, x = 7.

Умножение на НОК только одного слагаемого. Причина — восприятие дроби как отдельного объекта, а не части равенства. Неправильно: x/2 + 3 = 5 → x + 3 = 5. Правильно: умножаем каждое слагаемое: x + 6 = 10, x = 4.

Знак минус перед скобкой. Распределительный закон применяют к первому слагаемому и забывают про остальные. Неправильно: −3(x − 2) = −3x − 6. Правильно: −3x + 6.

Деление на выражение с переменной. При x в обеих частях сокращение теряет корни. Неправильно: из x² = 4x делить на x. Правильно для линейного случая: переносить всё в одну часть и приводить подобные.

Вывод «нет корней» при `0·x = 0`. Смешение двух особых случаев. Правильно: 0·x = 0 — корень любое число, 0·x ≠ 0 — корней нет.

Пошаговый алгоритм

1. Умножьте обе части на НОК знаменателей, если есть дробные коэффициенты.
2. Раскройте все скобки, соблюдая знак перед ними.
3. Перенесите слагаемые с переменной в левую часть, числа — в правую, меняя знаки.
4. Приведите подобные слагаемые и получите стандартную форму ax = b.
5. Определите случай по коэффициенту a: при a ≠ 0 вычислите x = b/a; при a = 0 сравните b с нулём и запишите «корней нет» или «любое число».
6. Подставьте найденный корень в исходное уравнение и сравните значения левой и правой частей.

Как запомнить

• «Переехал — переоделся»: слагаемое пересекло знак равенства — сменило знак.
• «Иксы налево, числа направо» — формула шага 3, порядок действий не меняется никогда.
• «Сначала дроби, потом скобки, потом перенос» — устойчивая последовательность упрощения.
• `x = b/a` — итоговая формула; знаменатель a напоминает о запрете a = 0.
• Проверка через подстановку заменяет сверку с ответом: два одинаковых числа слева и справа означают верно найденный корень.