Системы двух линейных уравнений — тренажёр для 7 класса

Раздел 1 — Определение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это запись двух уравнений вида *ax + by = c*, объединённых фигурной скобкой, для которых требуется найти общие пары значений переменных. Решением системы называется пара чисел (x; y), обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Фигурная скобка означает логическое «и»: пара обязана подходить обоим уравнениям одновременно. Пара (2; 1) подходит уравнению *x + y = 3*, но не подходит уравнению *x − y = 5*, поэтому решением системы из этих двух уравнений она не является.

Геометрический смысл темы связывает алгебру и графики: каждое линейное уравнение *ax + by = c* задаёт на координатной плоскости прямую, а решение системы — координаты точки пересечения этих прямых. Отсюда три возможных ответа: одна пара чисел, ни одной пары, бесконечно много пар.

Место темы в курсе 7 класса — завершение линии «Уравнения и неравенства». Система становится основным инструментом текстовых задач, где две неизвестные величины связаны двумя условиями.

Раздел 2 — Ключевые правила

Система решается алгебраическим исключением одной переменной: из двух уравнений с двумя неизвестными получают одно уравнение с одной неизвестной.

1. Метод подстановки: из одного уравнения выражают переменную через другую и подставляют полученное выражение во второе уравнение. Из *y = 2x − 3* и *3x + y = 7* получаем *3x + (2x − 3) = 7*.
2. Метод сложения (алгебраического сложения): уравнения почленно складывают или вычитают так, чтобы одна переменная исчезла. Сложение *2x + 3y = 13* и *5x − 3y = 1* даёт *7x = 14*.
3. Правило уравнивания коэффициентов: перед сложением обе части уравнения умножают на такое число, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными. Умножение *3x + 2y = 12* на 3 и *5x − 3y = 1* на 2 даёт коэффициенты +6y и −6y.
4. Правило записи ответа: ответом служит упорядоченная пара, где на первом месте стоит x. Запись «Ответ: (2; 3)» означает x = 2, y = 3.
5. Правило особых случаев: получение равенства без переменных вида *0 = 5* означает отсутствие решений (прямые параллельны), а вида *0 = 0* — бесконечное множество решений (прямые совпадают).

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Готовое выражение — подстановка. { y = 2x − 3; 3x + y = 7 }. Первое уравнение уже выражает y, поэтому подставляем: *3x + 2x − 3 = 7*, откуда *5x = 10*, x = 2. Возвращаемся: *y = 2·2 − 3 = 1*. Проверка: 3·2 + 1 = 7 ✔. Вывод: если переменная выражена, подстановка — кратчайший путь.

Пример 2. Выражение переменной с коэффициентом 1. { x + 2y = 8; 3x − y = 3 }. Коэффициент при x в первом уравнении равен 1, значит *x = 8 − 2y* без дробей. Подстановка: *3(8 − 2y) − y = 3* → *24 − 6y − y = 3* → *−7y = −21* → y = 3, затем x = 8 − 6 = 2. Вывод: выбирают ту переменную, чей коэффициент равен ±1, — так избегают дробей.

Пример 3. Сложение без подготовки. { 2x + 3y = 13; 5x − 3y = 1 }. Коэффициенты при y противоположны (+3 и −3), поэтому складываем левые и правые части: *7x = 14*, x = 2. Подставляем в первое: *4 + 3y = 13*, y = 3. Проверка вторым уравнением: 10 − 9 = 1 ✔. Вывод: противоположные коэффициенты — сигнал к немедленному сложению.

Пример 4. Сложение с предварительным умножением. { 3x + 2y = 12; 5x − 3y = 1 }. Уравниваем коэффициенты при y: первое умножаем на 3, второе на 2 → { 9x + 6y = 36; 10x − 6y = 2 }. Сложение даёт *19x = 38*, x = 2; далее *6 + 2y = 12*, y = 3. Вывод: наименьшее общее кратное коэффициентов (для 2 и 3 это 6) задаёт множители.

Пример 5. Прямые не пересекаются. { 2x − y = 1; 4x − 2y = 5 }. Умножаем первое на 2: *4x − 2y = 2*. Вычитание из второго даёт *0 = 3* — ложное равенство. Вывод: система несовместна, прямые параллельны, решений нет.

Пример 6. Задача на составление системы. За 3 тетради и 2 ручки заплатили 210 р., за 2 тетради и 5 ручек — 250 р. Пусть t — цена тетради, p — цена ручки. Система: { 3t + 2p = 210; 2t + 5p = 250 }. Умножаем первое на 5, второе на 2: { 15t + 10p = 1050; 4t + 10p = 500 }; вычитание даёт *11t = 550*, t = 50, тогда p = 30. Проверка: 2·50 + 5·30 = 250 ✔. Вывод: две неизвестные величины требуют двух независимых условий.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Ответ из одного числа. Ученик находит x и останавливается, забыв, что решение — пара. Неправильно: «Ответ: x = 2». Правильно: подставить x = 2 в выражение для y и записать «Ответ: (2; 1)».

Умножение только левой части. При уравнивании коэффициентов правую часть оставляют без изменения, нарушая равносильность. Неправильно: *3x + 2y = 12* → *9x + 6y = 12*. Правильно: *9x + 6y = 36* — множитель применяют к каждому слагаемому и к свободному члену.

Потеря знака при вычитании. Вычитая уравнение, ученик меняет знак только у первого слагаемого. Неправильно: (4x − 2y) − (4x − 2y = 2) → *−2y − 2y*. Правильно: менять знак у всех членов вычитаемого уравнения либо умножить его на −1 и сложить.

Подстановка в то же самое уравнение. Выразив *x = 8 − 2y* из первого уравнения, ученик подставляет выражение обратно в первое и получает *0 = 0*. Правильно: подстановка выполняется только во второе уравнение системы.

Неверный порядок в ответе. Пара (3; 2) вместо (2; 3) — другая точка плоскости. Правильно: первой координатой всегда записывают x.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Приведите оба уравнения к виду *ax + by = c*: раскройте скобки, перенесите переменные влево, числа вправо.
2. Выберите метод: подстановка при коэффициенте ±1, сложение при равных или противоположных коэффициентах.
3. Исключите одну переменную — подстановкой выражения или почленным сложением уравнений.
4. Решите полученное линейное уравнение с одной переменной.
5. Подставьте найденное число в наиболее простое уравнение системы и вычислите вторую переменную.
6. Проверьте пару подстановкой в оба исходных уравнения; запишите ответ в виде (x; y).

Раздел 7 — Как запомнить

Метод подстановки сжимается в цепочку из четырёх глаголов: выразил — подставил — решил — вернулся. Последний глагол напоминает о поиске второй координаты.

Метод сложения удерживает формула «уравнял → сложил → исчезло»: коэффициенты при одной переменной делают противоположными, после сложения она пропадает.

Для геометрии работает опора «система — это перекрёсток»: два уравнения — две дороги-прямые, решение — координаты перекрёстка. Нет перекрёстка (параллельны) — нет решений; дороги слились — решений бесконечно много.

Порядок в ответе запоминается по алфавиту: x раньше y, как в координатах точки на плоскости.