Одночлены и действия над ними — тренажёр для 7 класса

Определение

Одночлен — произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, записанное без знаков сложения и вычитания. Примеры одночленов: 7a²b, −0,5x, m³n⁵, 12, x. Выражение 3a + b одночленом не является, поскольку содержит знак сложения.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой на первом месте стоит один числовой множитель (коэффициент), а затем каждая переменная встречается ровно один раз в виде степени. Одночлен 2x · 3x²y стандартного вида не имеет: числовые множители не перемножены, переменная x записана дважды. После преобразования получается 6x³y — стандартный вид.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. У одночлена 6x³y степень равна 3 + 1 = 4. Тема открывает раздел «Многочлены»: многочлен строится как сумма одночленов, поэтому действия с одночленами — базовая техника для всей дальнейшей алгебры.

Ключевые правила

Действия над одночленами опираются на три свойства степеней с одинаковым основанием и на переместительный закон умножения.

1. Произведение степеней: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Показатели складывают. Пример: x⁴ · x³ = x⁷.
2. Степень степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Показатели перемножают. Пример: (y²)⁵ = y¹⁰.
3. Степень произведения: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. В степень возводится каждый множитель, включая коэффициент. Пример: (3c)² = 9c².
4. Умножение одночленов: коэффициенты перемножают, степени одинаковых переменных объединяют по правилу 1. Пример: 4a² · 5a³ = 20a⁵.
5. Возведение одночлена в степень: коэффициент возводят в эту степень, показатели переменных умножают на неё. Пример: (2x³)⁴ = 16x¹².
6. Значение одночлена: вместо каждой переменной подставляют её числовое значение в скобках и выполняют арифметические действия. Пример: при x = −3 одночлен 2x² равен 2·(−3)² = 18.

Разбор примеров

Пример 1. Приведение к стандартному виду: `3x² · (−5) · x³y`. Числовые множители 3 и −5 перемножаются: получается −15. Степени переменной x объединяются по первому свойству: x² · x³ = x⁵. Переменная y остаётся с показателем 1. Ответ: −15x⁵y, степень одночлена 5 + 1 = 6. Вывод: приведение к стандартному виду — это перегруппировка множителей, а не изменение выражения.

Пример 2. Умножение: `(−4a³b²) · (2,5ab⁴)`. Коэффициенты: −4 · 2,5 = −10. Переменная a: a³ · a¹ = a⁴. Переменная b: b² · b⁴ = b⁶. Ответ: −10a⁴b⁶. Вывод: при умножении одночленов показатели одноимённых переменных складываются, а знак определяет произведение коэффициентов.

Пример 3. Возведение в степень: `(−2x³y)⁴`. Каждый множитель возводится в четвёртую степень: (−2)⁴ = 16, (x³)⁴ = x¹², y⁴ = y⁴. Ответ: 16x¹²y⁴. Если показатель нечётный, знак сохраняется: (−2x³y)³ = −8x⁹y³. Вывод: чётная степень отрицательного коэффициента даёт положительный результат, нечётная — отрицательный.

Пример 4. Комбинированное действие: `(3ab²)² · (−2a³b)`. Сначала выполняется возведение в степень: (3ab²)² = 9a²b⁴. Затем умножение: 9 · (−2) = −18, a² · a³ = a⁵, b⁴ · b¹ = b⁵. Ответ: −18a⁵b⁵. Вывод: порядок действий сохраняется обычный — степень выполняется раньше умножения.

Пример 5. Значение одночлена `6x²y³` при `x = −2`, `y = 0,5`. Подстановка со скобками: 6 · (−2)² · (0,5)³ = 6 · 4 · 0,125 = 3. Вывод: скобки при подстановке отрицательного числа обязательны, иначе теряется знак основания степени.

Таблица

Типичные ошибки

Сложение показателей при возведении в степень. Ошибка возникает от смешения двух правил. Неправильно: (x⁴)³ = x⁷. Правильно: (x⁴)³ = x¹² — показатели умножают.

Коэффициент не возводится в степень. Ученик видит только буквы и забывает про число. Неправильно: (2x)³ = 2x³. Правильно: (2x)³ = 8x³.

Потеря минуса при чётной и нечётной степени. Причина — подстановка без скобок. Неправильно: (−3a)² = −9a². Правильно: (−3a)² = 9a², но (−3a)³ = −27a³.

Умножение вместо сложения одночленов. Смешиваются разные операции. Неправильно: 3x² + 2x² = 5x⁴. Правильно: 3x² + 2x² = 5x², а вот 3x² · 2x² = 6x⁴.

Подстановка отрицательного значения без скобок. Неправильно: при x = −2 записывают x² = −2² = −4. Правильно: (−2)² = 4.

Пошаговый алгоритм

1. Определите вид задания: привести к стандартному виду, умножить, возвести в степень или вычислить значение.
2. Раскройте степени, если они есть: возведите коэффициент в указанную степень, показатели переменных умножьте на неё.
3. Соберите все числовые множители вместе и перемножьте их, отдельно определив знак результата.
4. Сгруппируйте одинаковые переменные и сложите их показатели.
5. Запишите результат в стандартном виде: коэффициент, затем буквы в алфавитном порядке.
6. Подсчитайте степень одночлена как сумму показателей — контрольная величина.
7. Проверьте ответ подстановкой простого числа (например, x = 2, y = 1) в исходное и полученное выражение: значения должны совпасть.

Как запомнить

• «Умножаю одночлены — складываю показатели; возвожу в степень — умножаю показатели». Две операции, два разных действия с показателями.
• «Степень достаёт всех» — при возведении в степень под удар попадает каждый множитель, включая число и знак.
• Знак степени: чётный показатель у минуса → плюс, нечётный → минус. Опора: (−1)² = 1, (−1)³ = −1.
• Степень одночлена — сумма показателей букв; коэффициент в этой сумме не участвует.
• При подстановке чисел скобки ставятся всегда: (−2)⁴, а не −2⁴.