Многочлены и действия над ними — тренажёр для 7 класса

Определение

Многочлен — это сумма одночленов, используемая в алгебре для записи выражений, в которых переменные связаны сложением, вычитанием и умножением. Каждое слагаемое многочлена называют членом многочлена.

Одночлен — произведение чисел, переменных и их натуральных степеней: 7, −3x, 5a²b³. Одночлен записан в стандартном виде, когда числовой множитель (коэффициент) стоит первым, а каждая переменная встречается один раз: не 2x·3x·y, а 6x²y.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой все члены стандартны и нет подобных членов (членов с одинаковой буквенной частью). Степень многочлена равна наибольшей из степеней его членов: у многочлена 5x³ − 2x + 9 степень равна 3.

Многочлены продолжают линию «выражения → одночлены → многочлены» и служат основой для формул сокращённого умножения, разложения на множители и уравнений старших классов.

Ключевые правила

Действия над многочленами сводятся к раскрытию скобок и приведению подобных членов.

1. Приведение подобных членов: коэффициенты складываются, буквенная часть переписывается без изменений. 7a²b − 3a²b = 4a²b.
2. Сложение: скобки после знака «+» опускаются, знаки членов сохраняются. (x + 3) + (2x − 5) = x + 3 + 2x − 5 = 3x − 2.
3. Вычитание: скобки после знака «−» опускаются с заменой знака каждого члена на противоположный. (5y) − (2y − 4) = 5y − 2y + 4 = 3y + 4.
4. Умножение одночлена на многочлен: одночлен умножается на каждый член многочлена. 3x(x − 2) = 3x² − 6x.
5. Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого умножается на каждый член второго, затем приводятся подобные. (a + 2)(a + 3) = a² + 3a + 2a + 6 = a² + 5a + 6.
6. Деление многочлена на одночлен: на этот одночлен делится каждый член многочлена. (6x² − 4x) : (2x) = 3x − 2.
7. Степени при умножении складываются, при делении вычитаются: x³·x⁵ = x⁸, x⁷ : x² = x⁵.

Разбор примеров

Пример 1. Сложение. (3x² − 5x + 2) + (−x² + 5x − 7). Скобки снимаются без изменения знаков: 3x² − 5x + 2 − x² + 5x − 7. Подобные группируются: (3x² − x²) + (−5x + 5x) + (2 − 7) = 2x² − 5. Члены с x взаимно уничтожились — степень результата понизилась с 2 до 2, но одночлен первой степени исчез. Вывод: сложение не меняет знаков, но может обнулить целые группы членов.

Пример 2. Вычитание. (4a² − 3a + 1) − (a² − 3a − 6). Знак «−» меняет знаки всех трёх членов второй скобки: 4a² − 3a + 1 − a² + 3a + 6. Приводим подобные: 3a² + 7. Проверка при a = 1: слева (4 − 3 + 1) − (1 − 3 − 6) = 2 + 8 = 10, справа 3 + 7 = 10. Вывод: минус перед скобкой действует на весь многочлен, а не на первый член.

Пример 3. Умножение на одночлен. −2x²y(3x − 4y + 5). Каждый член умножается на −2x²y: −6x³y + 8x²y² − 10x²y. Коэффициенты перемножены с учётом знаков, степени одинаковых переменных сложены (x²·x = x³). Вывод: число членов произведения равно числу членов многочлена.

Пример 4. Умножение многочленов. (2x − 3)(x² + 4x − 1). Два члена умножаются на три — получаем шесть произведений: 2x³ + 8x² − 2x − 3x² − 12x + 3. После приведения подобных: 2x³ + 5x² − 14x + 3. Проверка при x = 1: (2 − 3)(1 + 4 − 1) = −4 и 2 + 5 − 14 + 3 = −4. Вывод: степень произведения равна сумме степеней множителей (1 + 2 = 3).

Пример 5. Деление на одночлен. (12a⁴b − 8a³b² + 4a³b) : (4a³b). Делим почленно: 12a⁴b : 4a³b = 3a; −8a³b² : 4a³b = −2b; 4a³b : 4a³b = 1. Ответ: 3a − 2b + 1. Вывод: член, совпадающий с делителем, даёт единицу, а не ноль.

Таблица действий

Типичные ошибки

Потеря знака после минуса перед скобкой. Ошибка возникает из-за механического «снятия» скобок. Неправильно: (5x − 2) − (3x − 7) = 5x − 2 − 3x − 7. Правильно: 5x − 2 − 3x + 7 = 2x + 5.

Умножение одночлена только на первый член. Причина — забытый распределительный закон. Неправильно: 4y(y + 3) = 4y² + 3. Правильно: 4y² + 12y.

Сложение показателей при приведении подобных. Ученик путает сложение с умножением. Неправильно: x² + x² = x⁴. Правильно: x² + x² = 2x², а вот x²·x² = x⁴.

Приведение неподобных членов. Буквенные части сравниваются невнимательно. Неправильно: 3a²b + 2ab² = 5a³b³. Правильно: члены неподобны, выражение уже стандартно.

Обнуление члена при делении. Неправильно: (7x² + x) : x = 7x + 0. Правильно: x : x = 1, ответ 7x + 1.

Пошаговый алгоритм

1. Определите действие: сложение, вычитание, умножение или деление.
2. Раскройте скобки по правилу нужного действия, следя за знаком перед скобкой.
3. При умножении перемножьте отдельно коэффициенты и отдельно буквенные части, складывая показатели одинаковых степеней.
4. При делении разделите каждый член многочлена на одночлен, вычитая показатели.
5. Запишите все полученные одночлены в стандартном виде.
6. Подчеркните подобные члены одинаковыми пометками и сложите их коэффициенты.
7. Расположите члены по убыванию степени и укажите степень многочлена.
8. Проверьте ответ подстановкой удобного числа (например, x = 1 или x = 2) в исходное выражение и в результат — значения должны совпасть.

Как запомнить

• «Каждый на каждый» — формула умножения многочленов: число слагаемых до приведения равно произведению числа членов.
• «Минус перед скобкой — минус каждому» — короткий сигнал для вычитания.
• «Складываем — коэффициенты, умножаем — показатели»: 2x³ + 5x³ = 7x³, но 2x³ · 5x³ = 10x⁶.
• Проверка при x = 1 превращает многочлен в сумму коэффициентов — самый быстрый способ поймать ошибку в знаках.
• Деление на одночлен читается как дробь с общим знаменателем: (A + B) : C = A:C + B:C.