Формулы сокращённого умножения — тренажёр для 7 класса

Раздел 1 — Определение

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые заменяют умножение многочленов готовым результатом и применяются в алгебре 7 класса при преобразовании выражений и разложении на множители. Тождество означает равенство, верное при любых значениях букв, поэтому каждая формула работает в обе стороны: слева направо (раскрытие скобок) и справа налево (свёртывание в произведение).

Возникают эти формулы из обычного умножения многочленов. Произведение (a + b)(a + b) можно раскрыть по правилу «каждый член на каждый» и привести подобные слагаемые — результат a² + 2ab + b² получится один и тот же для любых a и b, поэтому его запоминают как готовый образец.

Место темы в программе — сразу после действий с многочленами и перед разложением на множители. Без формул сокращённого умножения невозможно сокращать алгебраические дроби, решать квадратные уравнения выделением полного квадрата и доказывать тождества в 8–9 классах.

Буквы a и b в формулах — не только отдельные переменные, а любые выражения: число, одночлен 3x, многочлен (m + n). Такое понимание — ключ ко всем задачам темы.

Раздел 2 — Ключевые правила

Формулы сокращённого умножения применяются только тогда, когда структура выражения точно совпадает с образцом: определены основания a и b и распознан вид действия.

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение плюс квадрат второго. Пример: (x + 4)² = x² + 8x + 16.
2. Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b². Минус стоит только перед удвоенным произведением; квадрат второго выражения всегда положителен. Пример: (y − 5)² = y² − 10y + 25.
3. Разность квадратов: a² − b² = (a + b)(a − b). Работает в обратную сторону как основной приём разложения на множители. Пример: 36 − c² = (6 + c)(6 − c).
4. Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Четыре слагаемых, все со знаком «плюс», коэффициенты 1, 3, 3, 1. Пример: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1.
5. Куб разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Те же коэффициенты, но знаки чередуются. Пример: (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1.

Степень первого выражения в кубах убывает (a³, a², a¹, a⁰), степень второго возрастает (b⁰, b¹, b², b³) — сумма показателей в каждом слагаемом равна 3.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. (3x + 5)² = (3x)² + 2 · 3x · 5 + 5² = 9x² + 30x + 25. Здесь a = 3x, b = 5. Возводится в квадрат весь одночлен 3x, а не одна переменная: (3x)² = 3² · x² = 9x². Вывод: коэффициент возводится в степень наравне с буквой.

Пример 2. (2a − 7b)² = (2a)² − 2 · 2a · 7b + (7b)² = 4a² − 28ab + 49b². Основания a = 2a, b = 7b, удвоенное произведение считается как 2 · 2 · 7 = 28. Последний член положителен, потому что квадрат любого выражения неотрицателен. Вывод: знак «минус» в квадрате разности появляется ровно один раз.

Пример 3. 49m² − 25n⁴ = (7m)² − (5n²)² = (7m − 5n²)(7m + 5n²). Оба одночлена — точные квадраты: 49m² = (7m)², 25n⁴ = (5n²)², между ними стоит знак минус. Вывод: разность квадратов распознаётся по двум признакам — квадраты и вычитание.

Пример 4. (x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8. Каждое слагаемое строится по шаблону: 3a²b даёт 6x², 3ab² даёт 3 · x · 4 = 12x. Вывод: множитель 3 относится к двум средним членам, а не ко всем четырём.

Пример 5. (2y − 1)³ = 8y³ − 3 · 4y² · 1 + 3 · 2y · 1 − 1 = 8y³ − 12y² + 6y − 1. Знаки идут по порядку + − + −, кубируется весь одночлен: (2y)³ = 8y³. Вывод: в кубе разности нечётные позиции положительны, чётные отрицательны.

Пример 6 (устный счёт). 98² = (100 − 2)² = 10 000 − 400 + 4 = 9604, а 53 · 47 = (50 + 3)(50 − 3) = 2500 − 9 = 2491. Числа заменены суммой и разностью с «круглым» числом. Вывод: формулы ускоряют вычисления без калькулятора.

Пример 7 (упрощение). (x + 3)² − (x − 3)² = (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9) = 12x. При вычитании скобка меняет знаки всех членов, одинаковые слагаемые взаимно уничтожаются. Вывод: перед приведением подобных обязательно раскрыть внешний минус.

Раздел 4 — Таблица формул

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря удвоенного произведения. Ошибка рождается из ложной аналогии со свойством степени произведения (ab)² = a²b². Неправильно: (a + b)² = a² + b². Правильно: (a + b)² = a² + 2ab + b², проверка при a = 1, b = 1 даёт 4, а не 2.

Отрицательный последний член в квадрате разности. Ученик механически переносит минус на всё выражение. Неправильно: (x − 3)² = x² − 6x − 9. Правильно: x² − 6x + 9, так как (−3)² = +9.

Коэффициент не возводится в степень. Возводят только букву, забывая число. Неправильно: (5x)² = 5x². Правильно: (5x)² = 25x²; аналогично (2y)³ = 8y³.

Попытка разложить сумму квадратов. Симметрия формул создаёт иллюзию, что существует формула для a² + b². Неправильно: x² + 16 = (x + 4)(x − 4). Правильно: x² − 16 = (x + 4)(x − 4), а x² + 16 на линейные множители не раскладывается.

Потеря тройки в кубе. Куб путают с квадратом по числу слагаемых. Неправильно: (a + b)³ = a³ + b³. Правильно: a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Определите вид выражения: возведение в степень (квадрат, куб) или разность двух квадратов.
2. Выделите основания a и b целиком вместе с коэффициентами и степенями: в (4x² − 3y)² основание a = 4x², b = 3y.
3. Выберите формулу по знаку между основаниями: плюс — формула суммы, минус — формула разности.
4. Запишите шаблон формулы буквами, не подставляя пока чисел.
5. Подставьте основания в шаблон, заключая каждое в скобки: (4x²)² − 2 · 4x² · 3y + (3y)².
6. Выполните возведение в степень и умножение коэффициентов, приведите подобные слагаемые.
7. Проверьте результат подстановкой простого числа (например, x = 1, y = 1) в исходное выражение и в ответ — значения обязаны совпасть.

Раздел 7 — Как запомнить

Словесная формула квадрата: «квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго» — ритм из трёх частей закрывает обе формулы, различие только в знаке среднего члена.

Коэффициенты кубов дают строку треугольника Паскаля: 1, 3, 3, 1. Степени первого основания убывают 3, 2, 1, 0, степени второго возрастают 0, 1, 2, 3.

Знаки в разности: сколько минусов в скобке — столько раз меняется знак. В квадрате разности знаки + − +, в кубе разности + − + −.

Разность квадратов узнаётся по трём словам: «два квадрата, между ними минус» — сумма квадратов такого разложения не имеет.