Линейная функция и её график — тренажёр для 7 класса

Раздел 1 — Определение

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа; в курсе алгебры 7 класса она служит основной моделью равномерного изменения величины.

Число k носит название угловой коэффициент, число b — свободный член. Оба числа полностью задают функцию: подставив конкретное значение x, ученик по формуле получает единственное значение y, то есть выполняется главное требование понятия «функция» — каждому аргументу соответствует ровно одно значение.

График линейной функции — прямая линия на координатной плоскости. Свойство прямизны отличает линейную функцию от всех остальных функций школьного курса и объясняет, почему для построения достаточно двух точек: через две различные точки проходит единственная прямая.

Место темы в программе: линейная функция замыкает раздел «Функции» и опирается на линейное уравнение с двумя переменными ax + by = c, а далее используется в системах уравнений, где решение системы — координаты точки пересечения двух прямых.

Раздел 2 — Ключевые правила

Линейная функция подчиняется четырём правилам, связывающим формулу y = kx + b с видом её графика.

1. Угловой коэффициент k задаёт наклон прямой. При k > 0 функция возрастает (большему x соответствует больший y), при k < 0 убывает. Пример: у y = 3x − 1 коэффициент k = 3 > 0, функция возрастает.
2. Свободный член b задаёт точку пересечения с осью Oy. Подстановка x = 0 даёт y = b, значит, прямая всегда проходит через точку (0; b). Пример: график y = 2x + 5 пересекает ось ординат в точке (0; 5).
3. При k = 0 функция принимает вид y = b и называется постоянной. Её график — прямая, параллельная оси Ox. Пример: y = −4 — горизонтальная прямая через точку (0; −4).
4. Угловой коэффициент вычисляется по двум точкам графика A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) по формуле k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Пример: для точек (1; 4) и (3; 10) получаем k = (10 − 4) : (3 − 1) = 3.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Построить график y = 2x − 3. Составляем таблицу значений: при x = 0 получаем y = 2·0 − 3 = −3; при x = 2 получаем y = 2·2 − 3 = 1. Отмечаем точки (0; −3) и (2; 1), проводим через них прямую. Вывод: двух точек достаточно, а самая удобная из них — точка с x = 0, поскольку она сразу даёт b.

Пример 2. Описать поведение функции y = −0,5x + 2. Здесь k = −0,5 < 0, следовательно функция убывает: при x = 0 значение y = 2, при x = 4 значение y = 0. Прямая идёт из левого верхнего угла в правый нижний. Вывод: знак k определяет направление, а величина |k| — крутизну наклона.

Пример 3. Найти k и b по двум точкам A(1; 5) и B(3; 11). Вычисляем k = (11 − 5) : (3 − 1) = 6 : 2 = 3. Подставляем точку A в формулу y = 3x + b: 5 = 3·1 + b, откуда b = 2. Искомая функция y = 3x + 2. Проверка по точке B: 3·3 + 2 = 11 — верно. Вывод: сначала k, затем b из подстановки любой точки.

Пример 4. Определить формулу по графику. Прямая пересекает ось Oy в точке (0; −1), значит b = −1. От этой точки при сдвиге на 1 клетку вправо прямая поднимается на 2 клетки вверх, значит k = 2 : 1 = 2. Формула: y = 2x − 1. Вывод: «шаг вправо — подъём вверх» и есть геометрический смысл k.

Пример 5. Проверить, принадлежит ли точка M(−2; 7) графику y = −3x + 1. Подставляем x = −2: y = −3·(−2) + 1 = 6 + 1 = 7. Полученное значение совпадает с ординатой точки, значит M лежит на графике. Вывод: принадлежность точки проверяется подстановкой, а не измерением по рисунку.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Смешение ролей k и b. Ошибка возникает из-за одинакового «буквенного» вида коэффициентов. Неправильно: «у y = 4x + 1 график пересекает Oy в точке (0; 4)». Правильно: пересечение даёт свободный член, точка (0; 1), а 4 — наклон.

Вычисление k без деления. Ученик находит только разность ординат. Неправильно: для точек (1; 5) и (3; 11) записать k = 11 − 5 = 6. Правильно: k = 6 : 2 = 3, поскольку угловой коэффициент — отношение приращения y к приращению x.

Связывание возрастания со знаком b. Причина — привычка смотреть на последнее число формулы. Неправильно: «y = −2x + 7 возрастает, потому что +7». Правильно: направление определяет только k = −2 < 0, функция убывает.

Построение прямой по одной точке. Через одну точку проходит бесконечно много прямых, наклон остаётся неопределённым. Правильно: брать две точки, а третью — для контроля.

Отнесение к линейным неподходящих формул. Выражения y = x² + 1 и y = 6 : x линейными не являются: переменная стоит в степени 2 или в знаменателе. Правильно: линейность требует первой степени x и умножения на число.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Записать функцию в виде y = kx + b и выписать значения k и b отдельно.
2. Определить по знаку k поведение: k > 0 — возрастание, k < 0 — убывание, k = 0 — постоянство.
3. Выбрать два значения x (удобно x = 0 и x = 1 либо x = 2).
4. Вычислить соответствующие значения y подстановкой и занести их в таблицу.
5. Отметить обе точки на координатной плоскости.
6. Провести через точки прямую и подписать её формулой.
7. Проверить результат: подставить третье значение x, убедиться, что полученная точка лежит на построенной прямой, а пересечение с Oy равно b.

Раздел 7 — Как запомнить

• «k — крутизна, b — база»: буква k отвечает за наклон, буква b — за высоту старта на оси Oy.
• «Плюс k — вверх, минус k — вниз»: положительный угловой коэффициент поднимает прямую слева направо, отрицательный опускает.
• Правило шага: сдвинулся на 1 вправо — поднялся на k вверх; при k = 3 подъём на 3 клетки, при k = −2 спуск на 2 клетки.
• Формула наклона: k = (изменение y) : (изменение x) — «игрек делим на икс», порядок точек в числителе и знаменателе одинаковый.
• Контрольная подстановка: x = 0 всегда даёт y = b — быстрый способ проверить и формулу, и чертёж.