Функции y = x² и y = x³ и их графики — тренажёр для 7 класса

Раздел 1 — Определение

Функция y = x² — это соответствие, при котором каждому действительному числу x ставится в соответствие ровно одно число y, равное квадрату x; функция y = x³ устроена так же, но каждому x соответствует его куб. Обе функции задаются формулой, где x — аргумент (независимая переменная), а y — значение функции (зависимая переменная).

Графиком функции y = x² служит парабола — плавная линия с вершиной в точке (0; 0) и двумя симметричными ветвями, направленными вверх. Графиком функции y = x³ служит кубическая парабола — линия, проходящая через начало координат, спускающаяся из третьей координатной четверти в первую.

Место темы в курсе 7 класса — переход от линейной функции y = kx + b к нелинейным зависимостям. Здесь ученик впервые встречает график, который нельзя построить по двум точкам: кривая требует таблицы из 5–7 значений и аккуратного соединения точек плавной линией.

Раздел 2 — Ключевые правила

Функции y = x² и y = x³ определены при любом значении аргумента, поэтому их область определения — множество всех действительных чисел.

1. Область значений различна. Для y = x² значения неотрицательны: y ≥ 0, так как квадрат любого числа не бывает отрицательным. Для y = x³ значения — любые числа: (−2)³ = −8, 2³ = 8.
2. Чётность. Функция y = x² — чётная: (−x)² = x², график симметричен относительно оси Oy. Функция y = x³ — нечётная: (−x)³ = −x³, график симметричен относительно начала координат.
3. Монотонность. Функция y = x² убывает на промежутке x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0: при x от −3 до 0 значения падают с 9 до 0. Функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой: бо́льшему аргументу отвечает бо́льшее значение.
4. Нахождение значения функции. Подставьте число вместо x и вычислите: при x = −4 получаем y = (−4)² = 16.
5. Нахождение аргумента по значению. Уравнение x² = a при a > 0 даёт два корня (x = ±√a), при a = 0 — один, при a < 0 — ни одного. Уравнение x³ = a всегда имеет ровно один корень.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Вычислить значения y = x² при x = −3; −0,5; 2. Подстановка даёт: (−3)² = 9; (−0,5)² = 0,25; 2² = 4. Знак минус исчезает, потому что квадрат — произведение числа на само себя. Вывод: противоположные аргументы дают одинаковые значения, что и означает чётность.

Пример 2. Построить таблицу для y = x³ на отрезке от −2 до 2.

Значения растут слева направо без единого спада, а пары (−2; −8) и (2; 8) симметричны относительно начала координат. Вывод: график поднимается из третьей четверти в первую, проходя через (0; 0).

Пример 3. Решить уравнение x² = 49 и уравнение x² = −9. Первое уравнение имеет два корня: x = 7 и x = −7, поскольку 7² = 49 и (−7)² = 49. Второе уравнение решений не имеет: квадрат не бывает отрицательным. Вывод: по графику это видно как две точки пересечения с прямой y = 49 и отсутствие пересечений с прямой y = −9.

Пример 4. Решить уравнение x³ = −27. Единственный корень x = −3, так как (−3)³ = −27, а других чисел с таким кубом нет. Прямая y = −27 пересекает кубическую параболу в одной точке. Вывод: возрастающая функция принимает каждое значение ровно один раз.

Пример 5. Принадлежит ли точка A(−2; 4) графику y = x², а точка B(2; 6) — графику y = x³? Подставляем: (−2)² = 4 — равенство верно, точка A лежит на параболе. Далее 2³ = 8 ≠ 6 — равенство неверно, точка B графику не принадлежит. Вывод: проверка принадлежности сводится к подстановке координат в формулу.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря второго корня. Из уравнения x² = 25 записывают только x = 5. Причина — привычка к арифметическому корню. Неправильно: x = 5. Правильно: x = 5 или x = −5, поскольку (−5)² = 25.

Путаница со знаком при возведении в квадрат. Запись (−3)² = −9 возникает, когда минус не воспринимается частью основания. Правильно: (−3)² = (−3)·(−3) = 9, а вот −3² = −9, так как здесь возводится в квадрат только тройка.

Построение графика по трём точкам. Кривую заменяют ломаной из отрезков. Причина — перенос опыта с линейной функцией. Правильно: взять не менее семи точек (x = −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3) и соединить их плавной линией.

«Плоское дно» параболы. Возле вершины рисуют горизонтальный участок. Причина — грубая шкала чертежа. Правильно: парабола касается оси Ox в единственной точке (0; 0) и сразу идёт вверх; для точности добавляют точки x = ±0,5 со значением 0,25.

Приписывание кубической параболе двух ветвей вверх. График y = x³ рисуют похожим на y = x². Причина — смешение чётности и нечётности. Правильно: при x < 0 значения отрицательны, левая часть графика лежит ниже оси Ox.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте формулу и определите, какая функция задана: со степенью 2 или со степенью 3.
2. Выберите значения аргумента симметрично относительно нуля: −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3.
3. Вычислите каждое значение функции, записывая промежуточный шаг: (−2)³ = (−2)·(−2)·(−2) = −8.
4. Занесите результаты в таблицу из двух строк: x и y.
5. Отметьте точки на координатной плоскости, выбрав по оси Oy более мелкий масштаб (значения растут быстро).
6. Соедините точки плавной непрерывной линией без углов и изломов.
7. Проверьте результат: для y = x² убедитесь в симметрии относительно оси Oy, для y = x³ — в симметрии относительно начала координат; подставьте контрольное значение x = 1,5 и проверьте, попала ли точка на кривую.

Раздел 7 — Как запомнить

Квадрат «убивает» минус, куб его «сохраняет» — эта пара слов удерживает разницу между чётностью и нечётностью.

Ориентир по четвертям: парабола — «чаша», обе ветви вверх (I и II четверти); кубическая парабола — «стул», ветви в противоположных четвертях (I и III).

Счёт корней: «квадрат — два ответа или ни одного, куб — всегда один». Опорные числа для устного счёта: 2² = 4, 3² = 9, 2³ = 8, 3³ = 27.