Проценты: нахождение процента от числа — тренажёр для 5 класса

Что такое процент

Процент — это одна сотая часть числа. Слово пришло из латинского «pro centum», что означает «на сто». Записывают процент значком %.

1 % = 1/100 = 0,01

Если весь предмет, всю величину или всё количество принять за целое, то это целое — 100 %. Половина целого — 50 %, четверть — 25 %, десятая часть — 10 %.

Проценты удобны тем, что позволяют сравнивать доли разных величин. Фраза «скидка 30 %» понятна и для куртки за 4000 рублей, и для тетради за 40 рублей: в обоих случаях убирают 30 сотых частей цены.

Любой процент легко превратить в десятичную дробь и наоборот:

• Процент → дробь: разделить на 100 (перенести запятую на два знака влево). 7 % = 0,07; 45 % = 0,45; 120 % = 1,2.
• Дробь → процент: умножить на 100 (перенести запятую на два знака вправо). 0,6 = 60 %; 0,03 = 3 %; 1,5 = 150 %.

Ключевые правила

Правило 1. Нахождение процента от числа. Чтобы найти p % от числа a, надо перевести проценты в десятичную дробь и умножить:

a · (p : 100)

Пример записи: 20 % от 350 = 350 · 0,2 = 70.

Правило 2. Нахождение числа по его проценту. Если известно, что p % некоторого числа равны b, то само число находят делением:

b : (p : 100)

Пример записи: 20 % числа равны 70, тогда число = 70 : 0,2 = 350.

Правило 3. Сколько процентов одно число составляет от другого. Часть делят на целое и умножают на 100 %: (часть : целое) · 100 %.

Три правила связаны, как умножение и деление: в первом ищут часть, во втором — целое, в третьем — сам процент.

Примеры с разбором

Пример 1. Процент от числа. В классе 25 учеников, 40 % из них ходят в бассейн. Сколько это человек? 1. Перевожу проценты в дробь: 40 % = 0,4. 2. Умножаю: 25 · 0,4 = 10. Ответ: 10 человек. Проверка здравым смыслом: 40 % — чуть меньше половины, и 10 действительно меньше 12,5.

Пример 2. Скидка. Куртка стоила 4000 р., скидка 30 %. Сколько заплатит покупатель? Способ 1 (в два шага): скидка = 4000 · 0,3 = 1200 р.; новая цена = 4000 − 1200 = 2800 р. Способ 2 (в один шаг): если убрали 30 %, осталось 100 % − 30 % = 70 %, то есть 4000 · 0,7 = 2800 р. Ответ: 2800 рублей.

Пример 3. Рост величины. Цена билета была 500 р. и выросла на 20 %. Какой стала цена? Новая цена — это 100 % + 20 % = 120 % от старой: 500 · 1,2 = 600 р. Ответ: 600 рублей. Проверка: 20 % от 500 — это 100 р., 500 + 100 = 600.

Пример 4. Число по его проценту. Турист прошёл 12 км, и это 15 % всего маршрута. Какова длина маршрута? 1. 15 % = 0,15. 2. Делю: 12 : 0,15 = 1200 : 15 = 80. Ответ: 80 км. Проверка: 80 · 0,15 = 12 — верно.

Пример 5. Доля в процентах. В коробке 40 карандашей, из них 14 красных. Какую часть в процентах составляют красные? (14 : 40) · 100 % = 0,35 · 100 % = 35 %. Ответ: 35 %.

Таблица опорных значений и типов задач

Типичные ошибки

• Забыли перевести проценты в дробь. Пишут «25 % от 80 = 80 · 25 = 2000». Ошибка возникает из-за спешки: значок % как раз и означает деление на 100, его нельзя просто отбросить.
• Путают умножение и деление. Задача «12 км — это 15 % маршрута» решается делением, а не умножением. Ориентир: если ищем часть — умножаем, если ищем целое — делим. Целое всегда больше своей части (при p < 100).
• Считают скидку ответом. Нашли 1200 р. скидки и записали это в ответ, хотя спрашивали новую цену. Нужно перечитывать вопрос задачи.
• Складывают проценты от разных целых. Товар подорожал на 10 %, потом подешевел на 10 % — цена не вернулась к прежней, ведь второй раз 10 % берут уже от новой, большей цены.
• Неверно переносят запятую. 5 % записывают как 0,5 вместо 0,05. Запятую двигают ровно на два знака влево, недостающие места заполняют нулём.

Алгоритм решения задачи на проценты

1. Определить, что в задаче принято за целое (100 %). Это та величина, от которой берут проценты: вся цена, весь класс, весь путь.
2. Выяснить, что известно, а что нужно найти: часть, целое или сам процент.
3. Перевести проценты в десятичную дробь делением на 100.
4. Выбрать действие: ищу часть — умножаю целое на дробь; ищу целое — делю часть на дробь; ищу процент — делю часть на целое и умножаю на 100.
5. Если речь о скидке или росте, решить, считать в два шага или сразу через 100 % − p % либо 100 % + p %.
6. Выполнить вычисление и записать ответ с наименованием (рубли, км, человек).
7. Проверить: подставить найденное число обратно или прикинуть результат «на глаз».

Как запомнить

• Значок % = «делить на 100». Увидел процент — сразу подели на сто, дальше работай с обычной десятичной дробью.
• «Часть — умножаю, целое — делю». Короткая фраза, которая отделяет две главные задачи друг от друга.
• Проверка размером. Если ищем часть от числа при p < 100 %, ответ должен получиться меньше исходного числа. Если ищем целое — больше известной части. Ответ «нарушил» это правило — ищи ошибку.
• Опора на 1 % и 10 %. Найди 1 % (разделив на 100) и умножь на нужное число процентов: 1 % от 600 — это 6, значит 7 % — это 42. Способ выручает при устном счёте.
• Скидка «наоборот». Вместо вычитания сразу считай, сколько процентов осталось: скидка 15 % — платим 85 %, скидка 40 % — платим 60 %.