Системы счисления: перевод чисел — тренажёр для 8 класса

Раздел 1 — Определение

Система счисления — это способ записи чисел с помощью набора знаков-цифр и правил их истолкования, принятый и для человека, и для вычислительной машины. Набор допустимых цифр и правило вычисления значения полностью задают систему.

Позиционная система счисления ставит значение цифры в зависимость от её места (позиции) в записи. В числе 555₁₀ одна и та же цифра 5 означает пятьсот, пятьдесят и пять, потому что стоит в разрядах сотен, десятков и единиц.

Основание системы *q* — количество различных цифр, которыми пользуется система: в двоичной их две (0, 1), в восьмеричной восемь (0–7), в десятичной десять (0–9), в шестнадцатеричной шестнадцать (0–9, A, B, C, D, E, F). Значение числа вычисляется по развёрнутой форме записи: A = aₙ·qⁿ + … + a₁·q¹ + a₀·q⁰.

Недесятичные системы нужны информатике потому, что элемент памяти или логическая схема устойчиво различают ровно два состояния — «есть сигнал / нет сигнала». Такие состояния естественно кодируются цифрами 1 и 0, а восьмеричная и шестнадцатеричная системы служат краткой человеческой записью того же двоичного кода.

Раздел 2 — Ключевые правила

Перевод числа между системами счисления опирается на четыре независимых приёма, выбор которых определяется парой «откуда → куда».

1. Указание основания обязательно. Основание пишут нижним индексом: 101₂ = 5, 101₈ = 65, 101₁₀ = 101, 101₁₆ = 257. Без индекса запись двусмысленна.
2. В любой системе цифры меньше основания. Запись 189₈ ошибочна: цифры 8 и 9 в восьмеричной не существуют.
3. Перевод в десятичную — развёрнутая форма. 1101₂ = 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 13₁₀.
4. Перевод из десятичной — деление с остатком на основание до частного 0; остатки читаются снизу вверх.
5. Двоичная ↔ восьмеричная — триады (по 3 разряда), двоичная ↔ шестнадцатеричная — тетрады (по 4 разряда). Группы отсчитываются справа, слева при нехватке дописываются нули.
6. Сложение в двоичной системе: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (0 в разряд, 1 в перенос), 1+1+1=11.
7. Вычитание в двоичной системе: заём из старшего разряда даёт текущему разряду две единицы, то есть 10₂ − 1₂ = 1₂.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. 156₁₀ → двоичная. Делим последовательно: 156:2 = 78 (ост. 0), 78:2 = 39 (0), 39:2 = 19 (1), 19:2 = 9 (1), 9:2 = 4 (1), 4:2 = 2 (0), 2:2 = 1 (0), 1:2 = 0 (1). Остатки снизу вверх дают 10011100₂. Проверка сложением степеней двойки: 128 + 16 + 8 + 4 = 156. Правило: последний остаток становится старшим разрядом.

Пример 2. 156₁₀ → восьмеричная. 156:8 = 19 (ост. 4), 19:8 = 2 (ост. 3), 2:8 = 0 (ост. 2) → 234₈. Проверка: 2·64 + 3·8 + 4 = 156. Правило: алгоритм деления не зависит от основания, меняется только делитель.

Пример 3. 10011100₂ → восьмеричная и шестнадцатеричная. Триадами справа: 010 | 011 | 100 → 2, 3, 4 → 234₈. Тетрадами справа: 1001 | 1100 → 9, C → 9C₁₆. Совпадение с примером 2 неслучайно: 8 = 2³ и 16 = 2⁴, поэтому каждая группа двоичных разрядов заменяется одной цифрой без вычислений.

Пример 4. 3AF₁₆ → двоичная и десятичная. Каждую цифру заменяем тетрадой: 3 = 0011, A = 1010, F = 1111 → 1110101111₂ (ведущие нули отброшены). В десятичную: 3·256 + 10·16 + 15 = 943₁₀. Вывод: шестнадцатеричная запись втрое короче двоичной при том же значении.

Пример 5. Сложение 1011₂ + 1101₂. Складываем поразрядно справа: 1+1 = 10 (пишем 0, перенос 1); 1+0+1 = 10 (0, перенос 1); 0+1+1 = 10 (0, перенос 1); 1+1+1 = 11 (пишем 11). Итог 11000₂ = 24₁₀, что совпадает с 11 + 13. Правило: перенос возникает при сумме разряда 2 и более.

Пример 6. Вычитание 10010₂ − 1011₂. В младшем разряде 0 − 1 требует заёма: берём единицу из старшего разряда, получаем 10₂ − 1₂ = 1. Продолжая по разрядам, получаем 111₂ = 7₁₀, и проверка 18 − 11 = 7 подтверждает результат.

Раздел 4 — Таблица переводов

Раздел 5 — Типичные ошибки

Цифра больше или равна основанию. Ученик механически переносит десятичные привычки и пишет 79₈ или 12₂. Причина — забытое правило «цифр ровно *q* штук, от 0 до *q*−1». Неправильно: 189₈. Правильно: 189₁₀ = 275₈.

Чтение остатков сверху вниз. При делении столбиком первый остаток относится к младшему разряду, а записывают его первым. Неправильно: 13₁₀ = 1011₂. Правильно: остатки 1, 0, 1, 1 читаются снизу вверх → 1101₂.

Группировка триад и тетрад слева. Разбиение всегда начинается от младшего разряда. Неправильно: 1110101111₂ → 1110|1011|11. Правильно: 11|1010|1111 → дописываем нули: 0011|1010|1111 → 3AF₁₆.

Пропуск индекса основания. Запись «результат 1100» не позволяет отличить двоичное 12 от десятичного 1100. Правильно: 1100₂ = 12₁₀.

Сумма 1+1 = 2 в двоичной записи. Цифры 2 в двоичной системе нет: 1₂ + 1₂ = 10₂, единица уходит в перенос.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Определите основание исходного числа по индексу и проверьте допустимость всех цифр.
2. Установите основание результата и выберите приём: деление, развёрнутая форма или группировка.
3. Для перехода из десятичной делите на новое основание, записывая остатки в столбик.
4. Прекратите деление, когда частное станет равно 0.
5. Выпишите остатки в обратном порядке — снизу вверх; остатки 10–15 замените буквами A–F.
6. Для перехода между 2, 8 и 16 разбейте двоичную запись на триады или тетрады справа, дополнив старшую группу нулями.
7. При сложении и вычитании работайте поразрядно справа, фиксируя переносы и заёмы.
8. Проверьте ответ: переведите полученное число обратно в исходную систему по развёрнутой форме — значения обязаны совпасть.

Раздел 7 — Как запомнить

Степени двойки заучиваются наизусть до 1024: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 — они превращают перевод 2 → 10 в устный счёт.

Связь оснований запоминается формулами: 8 = 2³ → триада, 16 = 2⁴ → тетрада. Показатель степени равен числу двоичных разрядов в группе.

Буквенные цифры выстраиваются в ряд A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 — «после девятки алфавит», старшая цифра F на единицу меньше основания.

Направление чтения остатков закрепляет формула «делим сверху вниз — читаем снизу вверх».