Трапеция. Средняя линия трапеции — тренажёр для 8 класса

Определение

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные — боковыми сторонами.

Трапеция занимает промежуточное место между произвольным четырёхугольником и параллелограммом: параллельность здесь есть, но только у одной пары сторон. Именно поэтому параллелограмм трапецией не считается — у него параллельны обе пары.

Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание. Высот можно провести бесконечно много, но все они равны, поскольку заключены между параллельными прямыми.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Равнобедренной (равнобокой) называют трапецию с равными боковыми сторонами, прямоугольной — трапецию с боковой стороной, перпендикулярной основаниям.

Ключевые правила

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме — это главная теорема темы, записываемая формулой m = (a + b) / 2, где a и b — длины оснований.

1. Теорема о средней линии. Если основания равны 6 и 10, то m = (6 + 10) / 2 = 8. Из формулы выводятся обратные: a = 2m − b, b = 2m − a.
2. Сумма углов при боковой стороне равна 180°. Углы при боковой стороне — односторонние при параллельных основаниях и секущей. Если ∠A = 70°, то ∠B = 110°.
3. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: ∠A = ∠D и ∠B = ∠C. Верно и обратное утверждение — оно служит признаком равнобедренности.
4. Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD. Доказательство опирается на равенство треугольников ABD и DCA по двум сторонам и углу между ними.
5. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: S = m · h = ((a + b)/2) · h. При m = 8 и h = 5 получаем S = 40.
6. Высоты равнобедренной трапеции, проведённые из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки длиной (a − b)/2 каждый.

Разбор примеров

Пример 1. Основания 12 см и 18 см, найти среднюю линию. Подставляем в формулу: m = (12 + 18) / 2 = 15 (см). Складываем основания и делим пополам — боковые стороны в вычислении не участвуют вовсе. Вывод: средняя линия зависит только от оснований.

Пример 2. Средняя линия равна 14 см, меньшее основание — 9 см. Найти большее. Из равенства 14 = (9 + b) / 2 получаем 9 + b = 28, значит b = 19 (см). Формула работает в обе стороны: удвоенная средняя линия равна сумме оснований. Вывод: 2m = a + b — рабочая форма записи для обратных задач.

Пример 3. В равнобедренной трапеции ABCD (BC ∥ AD) угол A равен 64°. Найти остальные углы. Углы при большем основании равны: ∠D = ∠A = 64°. Углы при боковой стороне дают в сумме 180°, поэтому ∠B = 180° − 64° = 116°, и ∠C = 116°. Проверка: 64 + 64 + 116 + 116 = 360°. Вывод: достаточно одного угла, чтобы восстановить все четыре.

Пример 4. В равнобедренной трапеции основания 20 и 8, боковая сторона 10. Найти высоту. Проводим две высоты из вершин меньшего основания. Они отсекают отрезки по (20 − 8) / 2 = 6. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 и катетом 6 по теореме Пифагора h = √(100 − 36) = 8. Вывод: разность оснований, делённая пополам, — это катет-проекция боковой стороны.

Пример 5. Основания 5 и 11, высота 6. Найти площадь. Сначала средняя линия: m = (5 + 11) / 2 = 8. Затем S = m · h = 8 · 6 = 48. Вывод: средняя линия удобна как «усреднённое основание» — трапеция по площади равна прямоугольнику со сторонами m и h.

Таблица

Типичные ошибки

Считают параллелограмм трапецией. Причина — формальное чтение определения «две стороны параллельны». Неправильно: «квадрат — частный случай трапеции». Правильно: у трапеции вторая пара сторон обязательно непараллельна.

Складывают боковые стороны вместо оснований. Ошибка возникает из-за того, что средняя линия соединяет середины именно боковых сторон. Неправильно: при боковых 7 и 9 писать m = 8. Правильно: в формулу входят только основания a и b.

Путают среднюю линию трапеции со средней линией треугольника. В треугольнике средняя линия равна половине одной стороны, в трапеции — полусумме двух. Неправильно: m = a / 2. Правильно: m = (a + b) / 2.

Приравнивают углы при разных основаниях равнобедренной трапеции. Причина — иллюзия «симметрии по всем направлениям». Неправильно: ∠A = ∠B = 70°. Правильно: ∠A = ∠D = 70°, а ∠B = ∠C = 110°.

Ищут высоту как боковую сторону. В равнобедренной трапеции боковая сторона наклонена. Неправильно: h = 10 при боковой 10. Правильно: h = √(c² − ((a − b)/2)²).

Пошаговый алгоритм

1. Постройте чертёж и обозначьте вершины по кругу: ABCD, где BC ∥ AD.
2. Отметьте, какие стороны — основания, какие — боковые.
3. Определите вид трапеции: равнобедренная, прямоугольная или произвольная.
4. Выпишите известные величины и искомую в буквенных обозначениях.
5. Выберите формулу: m = (a + b)/2 для средней линии, S = m · h для площади.
6. Если данных не хватает, проведите высоты из вершин меньшего основания и получите прямоугольные треугольники.
7. Примените теорему Пифагора или свойства углов к полученным треугольникам.
8. Решите уравнение и запишите ответ с единицами измерения.
9. Проверьте результат: средняя линия должна быть больше меньшего основания и меньше большего, сумма углов — равняться 360°.

Как запомнить

Формула средней линии читается фразой «полусумма оснований»: сложил два основания — разделил на два. Число 2 стоит в знаменателе, потому что усредняются ровно два основания.

Ориентир для равнобедренной трапеции — слово «зеркало»: фигура симметрична относительно вертикальной оси, поэтому равны боковые стороны, диагонали и углы, стоящие по одну сторону от оси на одном уровне.

Ориентир для высоты — «прямоугольник плюс два треугольника»: две высоты разрезают равнобедренную трапецию на прямоугольник со стороной b и два равных прямоугольных треугольника с катетом (a − b)/2.

Формула площади запоминается как «средняя линия × высота» — трапецию мысленно выпрямляют в равновеликий прямоугольник.