Элементы статистики (среднее, мода, медиана, размах) — тренажёр для 9 класса

Определение

Статистические характеристики — это числа, которые описывают весь набор данных одним значением и позволяют сравнивать выборки между собой. К ним относятся среднее арифметическое, мода, медиана и размах.

Выборка — конечный набор числовых данных, полученных в результате наблюдений или измерений: оценки класса за контрольную, рост учеников, время выполнения задания. Количество чисел в выборке обозначают буквой *n* и называют объёмом выборки.

Раздел «Элементы статистики» завершает линию работы с данными в основной школе: от умения читать таблицу и диаграмму ученик переходит к вычислению характеристик и их истолкованию. Именно интерпретация — ответ на вопрос «что это число говорит о реальной ситуации» — проверяется на ОГЭ чаще, чем сами вычисления.

Ключевые правила

Каждая характеристика вычисляется по строгому правилу, и подмена одного правила другим меняет ответ.

1. Среднее арифметическое равно сумме всех значений, делённой на их количество: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Для набора 3, 5, 7, 9 получаем x̄ = 24 : 4 = 6.
2. Мода — значение, встречающееся в выборке чаще остальных. В наборе 2, 4, 4, 4, 7 мода равна 4. Мод может быть две и более; если все значения различны, моды нет.
3. Медиана — число, стоящее посередине упорядоченного ряда. При нечётном n медиана равна элементу с номером (n + 1)/2; при чётном n — полусумме элементов с номерами n/2 и n/2 + 1.
4. Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений: R = x_max − x_min. Для набора 12, 19, 15, 30 размах R = 30 − 12 = 18.
5. Упорядочивание ряда по возрастанию обязательно только для медианы и размаха; на среднее и моду порядок записи не влияет.
6. Среднее и размах чувствительны к выбросам — резко выделяющимся значениям; медиана и мода устойчивы к ним.

Разбор примеров

Пример 1. Все четыре характеристики сразу. Оценки ученика: 4, 5, 3, 5, 4, 5, 2. Сумма равна 28, объём n = 7, значит x̄ = 28 : 7 = 4. Упорядоченный ряд: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5. Медиана — элемент с номером (7 + 1)/2 = 4, то есть 4. Пятёрка встречается трижды — мода равна 5. Размах R = 5 − 2 = 3. Вывод: средний балл 4 совпал с медианой, а мода выше их — ученик чаще получает «5», но отдельные низкие отметки тянут среднее вниз.

Пример 2. Чётное число данных. Время решения задачи (мин): 12, 15, 11, 14, 16, 13. Упорядочиваем: 11, 12, 13, 14, 15, 16. Здесь n = 6, середина приходится на 3-й и 4-й элементы: Me = (13 + 14) : 2 = 13,5. Среднее: 81 : 6 = 13,5. Размах R = 16 − 11 = 5. Вывод: при чётном n медиана может не совпадать ни с одним значением выборки — она вычисляется, а не выбирается.

Пример 3. Влияние выброса. Месячные доходы пяти сотрудников (тыс. р.): 20, 22, 23, 25, 190. Среднее: 280 : 5 = 56. Медиана упорядоченного ряда — 23. Размах R = 190 − 20 = 170. Вывод: среднее 56 не описывает ни одного реального работника, потому что одно огромное значение сместило его. Типичный доход правильнее задать медианой 23.

Пример 4. Данные в таблице частот. Проданные размеры обуви за день:

Объём выборки n = 3 + 5 + 8 + 3 + 1 = 20. Сумма значений: 38·3 + 39·5 + 40·8 + 41·3 + 42·1 = 114 + 195 + 320 + 123 + 42 = 794, поэтому x̄ = 794 : 20 = 39,7. Наибольшая частота у размера 40 — это мода. Медиана: при n = 20 берём 10-й и 11-й элементы; накопленные частоты 3, 8, 16 показывают, что оба попадают в размер 40, значит Me = 40. Размах R = 42 − 38 = 4. Вывод: для магазина решающая характеристика — мода, ведь закупать нужно ходовой размер, а среднее 39,7 как размер обуви не существует.

Пример 5. Переход к диаграмме. По той же таблице строим столбчатую диаграмму: по горизонтали — размеры, по вертикали — частоты, высота столбца над числом 40 равна 8 клеткам. Для круговой диаграммы считаем долю: 8 : 20 = 0,4 = 40 %, а центральный угол сектора равен 360° · 0,4 = 144°. Вывод: столбчатая диаграмма сравнивает величины, круговая показывает доли частей в целом.

Таблица характеристик

Типичные ошибки

Поиск медианы без упорядочивания. Ошибка возникает от привычки брать «средний по счёту» элемент в том порядке, как числа записаны. Неправильно: в ряду 7, 1, 9 медиана 1. Правильно: упорядочить — 1, 7, 9 — и получить Me = 7.

Путаница моды и наибольшего значения. Слово «наибольшая» относится к частоте, а не к самому числу. Неправильно: в наборе 1, 1, 1, 8 мода равна 8. Правильно: мода 1, потому что единица встречается три раза.

Деление суммы на неверное n при работе с таблицей частот. Ученик делит на количество столбцов таблицы, а не на сумму частот. Неправильно: 794 : 5 = 158,8. Правильно: 794 : 20 = 39,7.

Выбор одного из двух средних значений при чётном n. Неправильно: для ряда 11, 12, 13, 14, 15, 16 медиана 13. Правильно: Me = (13 + 14) : 2 = 13,5.

Сложение крайних значений вместо вычитания. Размах — мера разброса, поэтому используется только разность. Неправильно: R = 42 + 38 = 80. Правильно: R = 42 − 38 = 4.

Пошаговый алгоритм

1. Выпишите все данные выборки в строку и подсчитайте их количество n (для таблицы частот сложите частоты).
2. Упорядочьте числа по возрастанию — этот ряд понадобится для медианы и размаха.
3. Найдите сумму всех значений; для таблицы частот умножьте каждое значение на его частоту и сложите произведения.
4. Разделите сумму на n — получите среднее арифметическое.
5. Определите значение с наибольшей частотой — моду; при равенстве частот запишите все такие значения.
6. Найдите медиану: при нечётном n возьмите элемент с номером (n + 1)/2, при чётном — полусумму двух средних элементов.
7. Вычислите размах как разность последнего и первого чисел упорядоченного ряда.
8. Постройте таблицу частот или диаграмму, если задача требует представления данных.
9. Сформулируйте вывод в терминах задачи: что означают полученные числа для оценок, роста, цен, продаж.
10. 10. Проверьте результат: среднее и медиана обязаны лежать между x_min и x_max, мода — совпадать с одним из значений выборки, размах — быть неотрицательным.

Как запомнить

Мода звучит как «модный» — самое популярное, что встречается чаще всего. Медиана в геометрии делит сторону пополам, и в статистике медиана делит упорядоченный ряд пополам. Размах — расстояние «от края до края», как размах крыльев: только вычитание.

Три коротких формулы для памяти: x̄ = сумма : количество; Me = середина упорядоченного ряда; R = max − min.

Ориентир для интерпретации: «сколько на каждого» — среднее, «что покупают чаще» — мода, «типичный уровень при выбросах» — медиана, «насколько велик разброс» — размах.