Квадратичная функция и её график (y = ax² + bx + c, парабола, вершина) — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0, изучаемая в курсе алгебры 9 класса как основная нелинейная зависимость. Числа a, b, c называются коэффициентами: a — старший (первый) коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Условие a ≠ 0 принципиально: при a = 0 остаётся выражение y = bx + c — линейная функция, и квадрат исчезает. Именно слагаемое ax² даёт кривизну графика и все особые свойства темы.

График квадратичной функции — парабола. Каждая парабола имеет вершину (точку излома направления движения графика) и ось симметрии — вертикальную прямую, проходящую через вершину. Тема связывает воедино решение квадратных уравнений (нули функции), преобразования выражений (выделение полного квадрата) и построение графиков.

Раздел 2 — Ключевые правила

Квадратичная функция полностью описывается тремя коэффициентами: по ним находятся вершина, ось симметрии, направление ветвей и нули.

1. Направление ветвей задаёт знак a. При a > 0 ветви направлены вверх, вершина — самая низкая точка; при a < 0 ветви направлены вниз, вершина — самая высокая. Пример: у y = −3x² + x ветви идут вниз, так как a = −3 < 0.
2. Абсцисса вершины считается по формуле x₀ = −b/(2a). Ордината получается подстановкой: y₀ = f(x₀). Пример: для y = x² − 6x + 5 получаем x₀ = 6/2 = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4, вершина (3; −4).
3. Ось симметрии — прямая x = x₀. Точки графика, равноудалённые от неё по горизонтали, имеют одинаковые ординаты: f(x₀ − t) = f(x₀ + t).
4. Нули функции — корни уравнения ax² + bx + c = 0. Их количество определяет дискриминант D = b² − 4ac: при D > 0 — две точки пересечения с осью Ox, при D = 0 — одна (касание), при D < 0 — ни одной.
5. Область значений зависит от знака a и от y₀. При a > 0 E(y) = [y₀; +∞), при a < 0 E(y) = (−∞; y₀]. Область определения всегда D(y) = ℝ.
6. Свободный член c — ордината точки пересечения с осью Oy, поскольку f(0) = c.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. y = x² − 4x + 3. Коэффициенты: a = 1, b = −4, c = 3. Считаем x₀ = −(−4)/(2·1) = 2, затем y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина (2; −1), ось симметрии x = 2, ветви вверх. Нули: x² − 4x + 3 = 0, D = 16 − 12 = 4, x₁ = 1, x₂ = 3. Вывод: график пересекает Ox в точках 1 и 3, а вершина лежит ровно посередине между ними — (1 + 3)/2 = 2.

Пример 2. y = −2x² + 4x + 1. Здесь a = −2 < 0, значит ветви вниз. x₀ = −4/(2·(−2)) = 1, y₀ = −2 + 4 + 1 = 3. Вершина (1; 3) — наибольшее значение функции, поэтому E(y) = (−∞; 3]. Нули: −2x² + 4x + 1 = 0 ⟺ 2x² − 4x − 1 = 0, D = 16 + 8 = 24, x = 1 ± √6/2. Вывод: отрицательный старший коэффициент переворачивает параболу, но формула вершины работает без изменений.

Пример 3. y = x² + 6x + 9. x₀ = −6/2 = −3, y₀ = 9 − 18 + 9 = 0. Вершина (−3; 0) лежит на оси Ox. Проверка через дискриминант: D = 36 − 36 = 0, единственный корень x = −3. Вывод: при D = 0 вершина совпадает с единственным нулём функции, парабола касается оси абсцисс.

Пример 4. y = 2x² − 4x + 5. x₀ = 4/4 = 1, y₀ = 2 − 4 + 5 = 3, вершина (1; 3), ветви вверх. D = 16 − 40 = −24 < 0 — нулей нет, график целиком выше оси Ox. Область значений [3; +∞). Вывод: отсутствие корней не мешает построить график — достаточно вершины и симметричных точек.

Пример 5 (построение). y = x² − 2x − 3. Вершина: x₀ = 1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4. Берём по два значения слева и справа от x₀ = 1: f(0) = −3, f(2) = −3, f(−1) = 0, f(3) = 0. Пять точек (1; −4), (0; −3), (2; −3), (−1; 0), (3; 0) соединяем плавной кривой. Вывод: точки подбираются парами, симметричными относительно оси x = 1, — это вдвое сокращает вычисления.

Раздел 4 — Таблица свойств

Раздел 5 — Типичные ошибки

Потеря минуса в формуле вершины. Ошибка рождается из механического копирования: ученик пишет x₀ = b/(2a). Для y = x² − 4x + 3 неправильно x₀ = −2, правильно x₀ = −(−4)/2 = 2. Проверка: вершина обязана лежать между корнями 1 и 3.

Подстановка x₀ не в ту функцию. Ординату вершины ищут «по формуле», а не подстановкой. Неправильно: y₀ = −b/(2a) взять как ответ по игреку. Правильно: y₀ = f(x₀), то есть подставить найденное x₀ в исходное выражение.

Смешение нулей функции и вершины. Нули — корни уравнения f(x) = 0, вершина — точка экстремума. Неправильно: «вершина параболы y = x² − 4x + 3 равна 1 и 3». Правильно: нули 1 и 3, вершина (2; −1).

Неверная область значений. При a < 0 записывают E(y) = [y₀; +∞). Для y = −2x² + 4x + 1 правильно E(y) = (−∞; 3], потому что ветви идут вниз и значения не превосходят 3.

Построение по случайным точкам. Без вершины кривая получается кособокой. Правильный набор: вершина плюс две пары симметричных точек относительно оси x = x₀.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Запишите коэффициенты a, b, c и проверьте условие a ≠ 0.
2. Определите направление ветвей по знаку a.
3. Вычислите x₀ = −b/(2a).
4. Найдите y₀ = f(x₀) подстановкой x₀ в исходную формулу.
5. Запишите вершину (x₀; y₀) и ось симметрии x = x₀.
6. Найдите D = b² − 4ac и вычислите нули функции, если D ≥ 0.
7. Отметьте точку пересечения с осью Oy: (0; c).
8. Составьте таблицу из вершины и двух пар точек, симметричных относительно x₀.
9. Постройте плавную кривую и запишите D(y) = ℝ, E(y) = [y₀; +∞) при a > 0 либо (−∞; y₀] при a < 0.
10. 10. Выполните проверку: полусумма корней равна x₀, а обе симметричные точки имеют равные ординаты.

Раздел 7 — Как запомнить

• Формула вершины читается как «минус бэ на два а» — минус произносится первым, поэтому его труднее потерять.
• Знак a — «настроение параболы»: плюс — улыбка (ветви вверх), минус — грусть (ветви вниз).
• Вершина всегда посередине между корнями: x₀ = (x₁ + x₂)/2 — быстрая проверка вычислений.
• c — «встреча с осью Y»: подставь x = 0, и останется только c.
• D отвечает за количество встреч с осью X: две, одна, ноль — ровно по знаку дискриминанта.