Элементы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания) — тренажёр для 9 класса

Определение

Комбинаторика — это раздел математики, который занимается подсчётом числа вариантов выбора и расположения объектов из конечного множества. В курсе алгебры 9 класса комбинаторика служит фундаментом для теории вероятностей: чтобы найти вероятность события, нужно сначала сосчитать благоприятные и все возможные исходы.

Комбинаторная задача всегда сводится к вопросу «сколькими способами?». Ответ получают не перебором, а формулой, потому что перебор при 10–20 объектах даёт сотни тысяч вариантов.

Три базовые конструкции — перестановки, размещения и сочетания — различаются двумя признаками: берём ли мы все объекты или только часть и учитывается ли порядок их расположения. Правильный выбор конструкции важнее самих вычислений.

Ключевые правила

Правило произведения утверждает: если первый элемент выбора можно сделать m способами, а второй — независимо от первого n способами, то пара выборов делается m · n способами. Для трёх и более этапов множители перемножаются: m₁ · m₂ · … · mₖ.

1. Правило произведения. Выбор рубашки (4 варианта) и галстука (3 варианта) даёт 4 · 3 = 12 комплектов. Ключевое слово — «и» (сначала одно, потом другое).
2. Правило суммы. Если выбор делается либо из m объектов, либо из n (варианты не пересекаются), способов m + n. Ключевое слово — «или».
3. Факториал. n! = 1 · 2 · 3 · … · n — произведение всех натуральных чисел до n. По определению 0! = 1, а 1! = 1.
4. Перестановки: Pₙ = n!. Все n объектов расставляются по n местам, порядок важен.
5. Размещения: Aₙᵏ = n! / (n − k)!. Из n объектов выбираются k и расставляются по местам — порядок важен.
6. Сочетания: Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!). Из n объектов выбираются k без учёта порядка.
7. Связь формул: Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!. Размещение — это сочетание, внутри которого k выбранных элементов ещё и переставляются.

Разбор примеров

Пример 1. Правило произведения. В кафе 3 салата, 5 горячих блюд и 2 десерта; сколько обедов из трёх блюд можно составить? Выбор идёт в три независимых этапа, поэтому числа перемножаются: 3 · 5 · 2 = 30. Вывод: последовательные независимые выборы — всегда произведение, а не сумма.

Пример 2. Перестановки. Сколькими способами расставить 5 разных учебников на полке? Все пять объектов используются, порядок различает варианты, значит P₅ = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Вывод: слово «расставить все» — признак перестановок.

Пример 3. Размещения. Из 10 спортсменов определяют победителя, второго и третьего призёра. Выбираются 3 из 10, причём места разные, поэтому A₁₀³ = 10!/7! = 10 · 9 · 8 = 720. Вывод: факториалы сокращаются, остаётся k множителей, идущих вниз от n.

Пример 4. Сочетания. Из 12 учеников формируют команду из 4 человек. Состав команды не зависит от порядка вызова, поэтому C₁₂⁴ = 12!/(4! · 8!) = (12 · 11 · 10 · 9)/24 = 11880/24 = 495. Вывод: «состав», «группа», «набор» — сигнал к сочетаниям.

Пример 5. Комбинированная задача. В классе 7 юношей и 5 девушек; нужно выбрать 3 юношей и 2 девушек. Каждый выбор — сочетание, а этапы соединяются правилом произведения: C₇³ · C₅² = 35 · 10 = 350. Вывод: сложные задачи разбиваются на этапы, внутри этапа — формула, между этапами — умножение.

Таблица сравнения

Типичные ошибки

Смешение размещений и сочетаний. Ошибка возникает, когда ученик не проверяет, различаются ли позиции выбранных объектов. Неправильно: «Из 10 человек выбрать 3 дежурных — A₁₀³ = 720». Правильно: дежурные равноправны, порядок не важен, C₁₀³ = 120.

Полное вычисление факториалов. 12! = 479 001 600 — число, в котором легко ошибиться. Неправильно: считать 12! и 8! отдельно. Правильно: сократить дробь сразу — 12!/8! = 12 · 11 · 10 · 9 = 11880.

Сложение вместо умножения. Причина — неразличение союзов «и» / «или». Неправильно: «3 салата и 5 горячих дают 3 + 5 = 8 обедов». Правильно: этапы независимы и следуют друг за другом, 3 · 5 = 15.

Забытое равенство 0! = 1. Ошибка всплывает при k = n. Неправильно: A₅⁵ = 5!/0! = «деление на ноль». Правильно: 0! = 1, поэтому A₅⁵ = 120 = P₅.

Игнорирование повторений. Неправильно: «Четырёхзначных кодов из цифр 0–9 всего A₁₀⁴ = 5040». Правильно: цифры могут повторяться, кодов 10⁴ = 10 000.

Пошаговый алгоритм

1. Выпишите, из какого числа объектов идёт выбор — это n.
2. Определите, сколько объектов берут — все n или только k.
3. Проверьте, меняется ли результат при перестановке выбранных объектов (места, должности, порядок цифр — меняется; состав команды, набор карт — нет).
4. Установите, разрешены ли повторения объектов.
5. Выберите формулу: все и порядок важен — Pₙ; часть и порядок важен — Aₙᵏ; часть и порядок не важен — Cₙᵏ; с повторениями — nᵏ.
6. Если задача многоэтапная, примените формулу к каждому этапу и перемножьте результаты.
7. Вычислите, сокращая факториалы, а не раскрывая их полностью.
8. Проверьте ответ: Cₙᵏ должно равняться Cₙⁿ⁻ᵏ, Aₙᵏ должно быть в k! раз больше Cₙᵏ, а само число вариантов — целым и положительным.

Как запомнить

Слова-ориентиры в условии определяют формулу быстрее любых рассуждений:

• «расставить, переставить, все» → перестановки, Pₙ = n!;
• «первое, второе, третье место», «пароль», «расписание» → размещения, Aₙᵏ;
• «команда, комиссия, группа, набор, букет» → сочетания, Cₙᵏ.

Мнемоника по буквам: Сочетание — Состав (порядок не нужен), Размещение — Расстановка по местам (порядок нужен).

Формула-мостик Aₙᵏ = Cₙᵏ · k! показывает: сочетаний всегда меньше, чем размещений, ровно в k! раз. Полезное свойство симметрии Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ упрощает счёт: C₁₀⁸ считать не нужно, оно равно C₁₀² = 45.