Элементы теории вероятностей (классическое определение вероятности) — тренажёр для 9 класса

Определение

Вероятность события — числовая мера возможности наступления этого события в случайном опыте, выражаемая отношением числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Обозначение — P(A), где A — рассматриваемое событие.

Случайное событие — событие, которое при одном и том же испытании может произойти, а может не произойти. Выпадение шестёрки на игральном кубике — случайное событие; выпадение числа, меньшего 7, — событие достоверное (P = 1); выпадение семёрки — событие невозможное (P = 0).

Равновозможные исходы — исходы опыта, ни один из которых не имеет преимущества перед другими в силу симметрии предмета или условий испытания. Шесть граней правильного кубика, две стороны монеты, одинаковые на ощупь шары в мешке дают равновозможные исходы; кнопка, падающая остриём вверх или вниз, — не даёт.

Раздел теории вероятностей завершает курс алгебры 9 класса и связывает комбинаторику (умение считать количество вариантов) с арифметикой дробей. Полученная формула работает дальше — в статистике, генетике, физике и на экзамене в задачах № 10 ОГЭ.

Ключевые правила

Классическое определение вероятности задаёт формулу P(A) = m/n, где n — общее число равновозможных исходов опыта, m — число исходов, благоприятных событию A.

1. Границы вероятности. Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1, поскольку 0 ≤ m ≤ n. Невозможное событие: P = 0, достоверное: P = 1. Ответ «вероятность равна 1,5» — арифметическая ошибка.
2. Противоположное событие. P(Ā) = 1 − P(A), где Ā («не A») наступает ровно тогда, когда A не наступает. При P(попадания) = 0,9 вероятность промаха равна 1 − 0,9 = 0,1.
3. Сложение несовместных событий. События A и B несовместны, если они не могут произойти одновременно; тогда P(A + B) = P(A) + P(B). Выпадение 2 и выпадение 5 на кубике несовместны: P = 1/6 + 1/6 = 1/3.
4. Умножение независимых событий. События A и B независимы, если наступление одного не меняет вероятности другого; тогда P(A · B) = P(A) · P(B). Орёл на первой монете и орёл на второй: P = 1/2 · 1/2 = 1/4.
5. Разграничение союзов. Союз «или» ведёт к сложению, союз «и» — к умножению. Проверка союза в условии задачи определяет выбор действия.

Разбор примеров

Пример 1. Игральный кубик. Найти вероятность выпадения чётного числа очков. Опыт даёт n = 6 равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событию «чётное число» благоприятны 2, 4, 6, значит m = 3. Подстановка: P = 3/6 = 0,5. Вывод: подсчёт начинают с полного перечня исходов, и лишь затем выделяют благоприятные.

Пример 2. Шары в мешке. В мешке 5 белых и 3 чёрных шара. Найти вероятность вынуть чёрный шар и вероятность вынуть белый. Всего шаров n = 5 + 3 = 8, чёрных m = 3, поэтому P(чёрный) = 3/8. Событие «белый» противоположно событию «чёрный»: P = 1 − 3/8 = 5/8. Вывод: формула противоположного события экономит второй подсчёт.

Пример 3. Сложение несовместных. В коробке 4 красных, 6 синих и 10 зелёных карандашей. Найти вероятность вынуть цветной карандаш красного или синего цвета. Один карандаш не бывает одновременно красным и синим — события несовместны. P = 4/20 + 6/20 = 10/20 = 0,5. Тот же ответ даёт прямой счёт: m = 4 + 6 = 10, n = 20. Вывод: сложение вероятностей и объединение благоприятных исходов дают одинаковый результат.

Пример 4. Умножение независимых. Монету бросают дважды. Найти вероятность двух орлов. Второй бросок не зависит от первого, поэтому P = 1/2 · 1/2 = 1/4. Проверка перебором: ОО, ОР, РО, РР — четыре равновозможных исхода, благоприятен один, P = 1/4. Вывод: перебор исходов подтверждает правило произведения.

Пример 5. «Хотя бы один». Два стрелка стреляют по мишени, вероятности попадания 0,8 и 0,7. Найти вероятность хотя бы одного попадания. Противоположное событие — оба промахнулись: 0,2 · 0,3 = 0,06. Отсюда P = 1 − 0,06 = 0,94. Вывод: формулировка «хотя бы один» решается через противоположное событие, а не перебором трёх случаев.

Таблица

Типичные ошибки

Неверный подсчёт общего числа исходов. Возникает при потере части предметов: в задаче про 5 белых и 3 чёрных шара пишут n = 5. Неправильно: P = 3/5. Правильно: n = 5 + 3 = 8, P = 3/8. Знаменатель — всегда все исходы опыта.

Сложение вероятностей совместных событий. Ученик складывает там, где события пересекаются: «выпало чётное или больше трёх» — 3/6 + 3/6 = 1 (неправильно). Правильно: благоприятны 2, 4, 5, 6, значит P = 4/6 = 2/3, так как исходы 4 и 6 учтены дважды.

Смешение «или» и «и». Для двух монет вероятность двух орлов считают как 1/2 + 1/2 = 1 (неправильно). Правильно: одновременность требует умножения — 1/2 · 1/2 = 1/4.

Умножение зависимых событий по формуле независимых. Из 8 шаров вынимают два подряд без возврата, а вероятность второго берут прежней. После первого извлечения общее число шаров уменьшается на единицу — условия опыта изменились.

Ответ вне отрезка [0; 1]. Появляется при перепутанных m и n: P = 8/3. Правильно: числитель не превосходит знаменателя, P = 3/8.

Пошаговый алгоритм

1. Прочитайте условие и назовите опыт: что именно делают — бросают, вынимают, стреляют.
2. Сформулируйте событие A одним предложением: «выпало чётное число».
3. Подсчитайте n — общее число равновозможных исходов.
4. Подсчитайте m — число исходов, благоприятных событию A.
5. Определите структуру события: одиночное, «или», «и», «не», «хотя бы один».
6. Выберите формулу: m/n, сумму, произведение или 1 − P(A).
7. Выполните вычисления, сократите дробь либо переведите её в десятичную.
8. Проверьте результат: 0 ≤ P ≤ 1, а сумма вероятностей события и противоположного равна 1.

Как запомнить

Формула P = m/n читается как «место из мест»: сверху — места, которые нас устраивают, снизу — наличие всех мест.

Союзы работают как знаки действий: «и» — умножение (события идут вместе), «или» — сложение (события идут порознь).

Фраза «хотя бы один» — сигнал перехода к противоположному событию: P = 1 − P(ни одного).

Контроль ответа: вероятность — дробь от нуля до единицы, поэтому результат больше 1 или отрицательный означает ошибку в подсчёте m и n.