Геометрическая прогрессия (формула n-го члена, сумма) — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, отличное от нуля. Обозначается она буквами b₁, b₂, b₃, …, bₙ, а постоянный множитель называется знаменателем прогрессии и обозначается q.

Определяющее соотношение записывается как bₙ₊₁ = bₙ · q, откуда q = bₙ₊₁ / bₙ. Знаменатель находится делением любого члена на предыдущий: в последовательности 5; 15; 45; 135 получаем q = 15 : 5 = 3, и та же тройка выходит при делении 45 на 15 — постоянство отношения и есть признак прогрессии.

Место темы в курсе 9 класса — рядом с арифметической прогрессией: там соседние члены различаются слагаемым (разностью d), здесь — множителем (знаменателем q). Геометрическая прогрессия описывает процессы удвоения, распада, начисления процентов, а бесконечно убывающая прогрессия даёт способ обращать периодическую дробь в обыкновенную.

Раздел 2 — Ключевые правила

Геометрическая прогрессия полностью задаётся двумя числами — первым членом b₁ и знаменателем q; всё остальное вычисляется по формулам.

1. Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Показатель степени на единицу меньше номера, потому что от первого члена до n-го делается ровно (n − 1) умножений. При b₁ = 2, q = 5 член b₄ = 2 · 5³ = 250.
2. Формула суммы первых n членов при q ≠ 1: Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q). При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = b₁ · n.
3. Характеристическое свойство: квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению соседних — bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Для тройки 3; 6; 12 проверка даёт 6² = 3 · 12 = 36.
4. Бесконечно убывающая прогрессия — прогрессия с |q| < 1; сумма всех её членов равна S = b₁ / (1 − q). Условие |q| < 1 обязательно: при |q| ≥ 1 суммы не существует.
5. Знак членов: при q > 0 все члены одного знака с b₁, при q < 0 знаки чередуются. Прогрессия 4; −8; 16; −32 имеет q = −2.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Дано b₁ = 3, q = 2; найти b₇. Подставляем в формулу: b₇ = 3 · 2⁶ = 3 · 64 = 192. Показатель равен 6, а не 7, поскольку от b₁ к b₇ выполняется шесть умножений. Вывод: номер члена и показатель степени различаются на единицу всегда.

Пример 2. Дано b₃ = 12, b₅ = 48; найти b₁ и q. Делим: b₅ / b₃ = q², то есть 48 : 12 = 4, значит q² = 4 и q = ±2. Тогда b₁ = b₃ : q² = 12 : 4 = 3. Получаются две прогрессии: 3; 6; 12; 24; 48 и 3; −6; 12; −24; 48. Вывод: чётная степень при извлечении корня даёт два значения знаменателя, оба нужно указать.

Пример 3. Найти сумму шести первых членов прогрессии 2; 6; 18; … Здесь b₁ = 2, q = 6 : 2 = 3, n = 6. Считаем: S₆ = 2(1 − 3⁶)/(1 − 3) = 2(1 − 729)/(−2) = 2 · (−728)/(−2) = 728. Проверка прямым сложением: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728. Вывод: минус в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются, ответ положителен.

Пример 4. При каком x числа x; 6; 18 образуют геометрическую прогрессию? Применяем характеристическое свойство: 6² = x · 18, откуда 36 = 18x и x = 2. Прогрессия 2; 6; 18 имеет q = 3. Вывод: свойство bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ превращает задачу о трёх числах в обычное уравнение.

Пример 5. Найти сумму бесконечной прогрессии 9 + 3 + 1 + ⅓ + … Знаменатель q = 3 : 9 = ⅓, и |⅓| < 1, значит сумма существует: S = 9 : (1 − ⅓) = 9 : ⅔ = 13,5. Тем же приёмом обращается дробь 0,(6): b₁ = 0,6, q = 0,1, S = 0,6 : 0,9 = ⅔. Вывод: формула S = b₁/(1 − q) работает только после проверки условия |q| < 1.

Раздел 4 — Таблица

Раздел 5 — Типичные ошибки

Смешение q и d. Ученик прибавляет знаменатель вместо умножения, перенося привычку из арифметической прогрессии. Неправильно: b₁ = 3, q = 4 → b₂ = 7. Правильно: b₂ = 3 · 4 = 12.

Показатель n вместо n − 1. Ошибка возникает из-за зрительного совпадения номера и степени. Неправильно: b₅ = 2 · 3⁵ = 486. Правильно: b₅ = 2 · 3⁴ = 162.

Применение формулы суммы при q = 1. Знаменатель дроби 1 − q обращается в нуль, деление невозможно. Неправильно: S₄ = 6(1 − 1⁴)/(1 − 1). Правильно: S₄ = 6 · 4 = 24.

Сумма бесконечной прогрессии при |q| ≥ 1. Формула S = b₁/(1 − q) даёт «ответ» и для q = 2 (S = −b₁), хотя члены неограниченно растут. Правильно: сначала проверить |q| < 1, иначе записать «сумма не существует».

Потеря второго знака q. Из q² = 9 берут только q = 3. Правильно: q = 3 или q = −3, далее проверять каждый случай по условию задачи.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм

1. Выпишите данные: известные члены, их номера, знаменатель, количество членов.
2. Найдите q делением любого члена на предыдущий; если члены не соседние, используйте bₖ / bₘ = qᵏ⁻ᵐ.
3. Определите b₁ по формуле b₁ = bₙ / qⁿ⁻¹, если он не дан.
4. Выберите формулу: bₙ = b₁qⁿ⁻¹ для отдельного члена, Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) для конечной суммы, S = b₁/(1 − q) для бесконечной.
5. Проверьте ограничения: q ≠ 0, для Sₙ — условие q ≠ 1, для S — условие |q| < 1.
6. Выполните вычисления, сохраняя оба знака q, если он найден из чётной степени.
7. Проверьте результат: подставьте ответ в характеристическое свойство bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ или сложите первые члены напрямую.

Раздел 7 — Как запомнить

Показатель степени запоминается фразой «шагов на один меньше, чем членов»: до седьмого члена — шесть умножений, отсюда q⁶.

Характеристическое свойство читается как «средний в квадрате = произведение крайних» — то же правило, что у среднего геометрического: bₙ = ±√(bₙ₋₁ · bₙ₊₁).

Формула суммы держится на образе «единица минус степень — сверху, единица минус знаменатель — снизу»: Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q). При n → ∞ и |q| < 1 множитель qⁿ исчезает, и остаётся короткое S = b₁/(1 − q).

Сигнальные слова задач: «увеличивается в … раз», «удваивается», «уменьшается вдвое», «начисляются проценты» — все они указывают на геометрическую прогрессию, а «больше на …» — на арифметическую.