Системы счисления. Двоичная и десятичная — тренажёр для 7 класса

Определение

Позиционная система счисления — это способ записи чисел, при котором значение цифры определяется её позицией (разрядом) в записи. Одна и та же цифра 5 в числе 5 обозначает пять единиц, а в числе 50 — пять десятков: изменилась не цифра, а её место.

Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых для записи чисел. Десятичная система имеет основание 10 и цифры 0–9; двоичная система имеет основание 2 и всего две цифры — 0 и 1. Основание показывает, во сколько раз единица каждого следующего разряда больше единицы предыдущего.

Двоичная система лежит в основе работы компьютера: электронная схема надёжно различает два состояния — «есть напряжение» и «нет напряжения», которые кодируются цифрами 1 и 0. Поэтому любая информация внутри процессора и памяти представлена цепочками двоичных цифр — битов.

Непозиционные системы (например, римская) устроены иначе: в записи XXX каждый знак X означает 30 : 3 = 10 независимо от места. Сравнение позиционных и непозиционных записей показывает главное преимущество позиционного принципа — компактность и удобство вычислений столбиком.

Ключевые правила

Число в позиционной системе с основанием *q* равно сумме произведений его цифр на степени основания, где показатель степени равен номеру разряда, считая от нуля справа.

1. Развёрнутая форма записи. Число $a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$ в системе с основанием *q* равно $a_n \cdot q^n + \dots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0$. Пример: $253_{10} = 2 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$.
2. Обозначение основания. Основание пишут нижним индексом справа: $101_2$ читается «один-ноль-один в двоичной системе», а не «сто один».
3. Допустимые цифры. В системе с основанием *q* используются цифры от 0 до *q* − 1. Запись $1021_2$ ошибочна: цифры 2 в двоичной системе не существует.
4. Перевод из десятичной в двоичную. Число последовательно делят на 2 с остатком, пока частное не станет нулём; остатки выписывают в обратном порядке. Пример: 6 → остатки 0, 1, 1 → $110_2$.
5. Перевод из двоичной в десятичную. Каждую цифру умножают на соответствующую степень двойки и складывают произведения. Пример: $110_2 = 4 + 2 + 0 = 6$.
6. Сравнение чисел из разных систем. Оба числа приводят к одной системе — практичнее к десятичной, — и лишь затем сравнивают.

Разбор примеров

Пример 1. Перевод $1011_2$ в десятичную систему. Нумеруем разряды справа налево, начиная с нуля: 1(3), 0(2), 1(1), 1(0). Раскладываем: $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$. Ответ: $1011_2 = 11_{10}$. Вывод: нули в разложении можно просто пропускать — они не дают вклада в сумму.

Пример 2. Перевод $45_{10}$ в двоичную систему. Делим на 2: 45 = 2·22 + 1; 22 = 2·11 + 0; 11 = 2·5 + 1; 5 = 2·2 + 1; 2 = 2·1 + 0; 1 = 2·0 + 1. Остатки, выписанные снизу вверх: 101101. Ответ: $45_{10} = 101101_2$. Вывод: деление продолжается до частного 0, а не до частного 1.

Пример 3. Проверка результата примера 2. Обратный перевод: $101101_2 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$. Совпадение с исходным числом подтверждает правильность деления. Вывод: обратный перевод — универсальный способ самопроверки.

Пример 4. Сравнение $1100_2$ и $13_{10}$. Переводим двоичное число: $1100_2 = 8 + 4 = 12$. Сравниваем в десятичной системе: 12 < 13. Ответ: $1100_2 < 13_{10}$. Вывод: длина записи не говорит о величине — четырёхзначное двоичное число меньше двузначного десятичного.

Пример 5. Число $100_2$ и число $100_{10}$. Первое равно $1 \cdot 2^2 = 4$, второе равно $1 \cdot 10^2 = 100$. Одинаковая последовательность цифр при разных основаниях задаёт разные числа. Вывод: указывать индекс основания обязательно.

Таблица

Типичные ошибки

Остатки выписаны сверху вниз. Ошибка возникает из-за привычки читать записи в порядке выполнения действий. Первый полученный остаток относится к младшему разряду, поэтому читать надо снизу вверх. Неправильно: 45 → 101101 записано как 101101 «по ходу деления» = $110101_2 = 53$. Правильно: $101101_2 = 45$.

Использование цифры 2 в двоичной записи. Причина — механический перенос десятичных навыков. В двоичной системе после 1 разряд переполняется и появляется новый: за $1_2$ следует $10_2$, а не «2».

Неверная нумерация разрядов. Ученик начинает счёт разрядов с единицы, а не с нуля, и получает завышенный результат. Неправильно: $11_2 = 2^2 + 2^1 = 6$. Правильно: $11_2 = 2^1 + 2^0 = 3$.

Сравнение чисел «по внешнему виду». Запись $1111_2$ кажется больше, чем $20_{10}$, из-за количества знаков. После перевода: $1111_2 = 15 < 20$. Сравнивать нужно только после приведения к одной системе.

Потеря индекса основания. Без индекса запись 110 неоднозначна: сто десять или шесть. Индекс ставится всегда, кроме случаев, когда основание оговорено заранее.

Пошаговый алгоритм

1. Определите направление перевода: из десятичной в двоичную или обратно.
2. Для перевода в двоичную разделите число на 2, запишите частное и остаток (0 или 1).
3. Повторяйте деление с каждым новым частным, пока частное не станет равным 0.
4. Выпишите все остатки в обратном порядке — от последнего к первому; полученная цепочка и есть двоичная запись.
5. Для перевода в десятичную пронумеруйте разряды справа налево, начиная с 0.
6. Умножьте каждую цифру на 2 в степени номера разряда и сложите произведения.
7. Для сравнения чисел переведите оба в десятичную систему и сравните полученные значения.
8. Проверьте результат обратным переводом: двоичный ответ разложите по степеням двойки и сравните с исходным десятичным числом.

Как запомнить

Ряд степеней двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 — заучивается наизусть, как таблица умножения; с ним перевод в десятичную систему выполняется устно: под каждой единицей подписывается её вес, веса складываются.

Формула-опора: «делим — записываем остатки — читаем снизу вверх». Направление чтения задаёт стрелка ↑, которую полезно рисовать рядом со столбиком деления.

Ориентир для контроля: двоичная запись начинается с единицы (кроме самого числа 0), а число единиц в записи равно количеству слагаемых-степеней в разложении. Если в разложении три слагаемых, а в записи четыре единицы — допущена ошибка.