Масштаб: вычисление расстояний и площадей — тренажёр для 6 класса

Определение

Масштаб — это отношение длины отрезка на карте к длине того же отрезка на местности, которое показывает, во сколько раз изображение уменьшено.

Любая карта или план уменьшают земную поверхность, поэтому без масштаба чертёж превращается в рисунок: по нему нельзя узнать ни расстояние между городами, ни размеры озера. Масштаб возвращает карте измеримость — он переводит сантиметры бумаги в километры местности.

Записывают масштаб тремя способами. Численный масштаб — дробь вида 1 : 100 000, где числитель всегда единица. Именованный масштаб — словесная запись «в 1 см 1 км». Линейный масштаб — линейка с подписанными делениями внизу карты, по которой длину читают сразу в километрах.

В курсе 6 класса масштаб связывает три умения: измерение расстояний, вычисление площадей и чтение номенклатуры карт — системы обозначений отдельных листов топографических карт.

Ключевые правила

Масштаб работает по одному закону: расстояние на местности = расстояние на карте × знаменатель масштаба.

1. Перевод численного масштаба в именованный. Зачеркните в знаменателе два нуля — получите метры, пять нулей — километры. Пример: 1 : 25 000 → в 1 см 250 м; 1 : 500 000 → в 1 см 5 км.
2. Обратный перевод. Переведите величину из именованного масштаба в сантиметры и поставьте в знаменатель. Пример: «в 1 см 3 км» → 3 км = 300 000 см → 1 : 300 000.
3. Расстояние. Измерьте отрезок линейкой в сантиметрах и умножьте на именованный масштаб. Пример: 4,5 см при масштабе «в 1 см 2 км» → 9 км.
4. Площадь. Квадратный сантиметр карты равен квадрату линейной величины. Пример: при масштабе «в 1 см 2 км» 1 см² = 2 км × 2 км = 4 км².
5. Крупный и мелкий масштаб. Чем меньше знаменатель, тем крупнее масштаб и подробнее карта. 1 : 10 000 крупнее, чем 1 : 1 000 000.
6. Номенклатура. Каждый лист карты обозначается буквой ряда и номером колонны: Москва попадает на лист N-37 миллионной карты.

Разбор примеров

Пример 1. Расстояние по прямой. На карте масштаба 1 : 200 000 отрезок между посёлками равен 6 см. Переводим масштаб: 1 : 200 000 → в 1 см 2 км. Умножаем: 6 × 2 = 12 км. Вывод: измерение всегда идёт в два шага — сначала перевод масштаба, потом умножение.

Пример 2. Обратная задача. Расстояние между городами 45 км, масштаб «в 1 см 15 км». Делим: 45 : 15 = 3 см. Вывод: если известна местность, а нужна карта, применяется деление, а не умножение.

Пример 3. Площадь поля. Поле на плане масштаба 1 : 10 000 имеет форму прямоугольника 3 см × 2 см. Именованный масштаб: в 1 см 100 м. Стороны на местности: 300 м и 200 м. Площадь: 300 × 200 = 60 000 м² = 6 га. Вывод: надёжнее сначала перевести стороны в метры, а потом перемножить.

Пример 4. Площадь через квадратный сантиметр. Озеро занимает 12 см² на карте 1 : 500 000. В 1 см — 5 км, значит 1 см² = 25 км². Площадь: 12 × 25 = 300 км². Вывод: линейный масштаб при переходе к площади возводится в квадрат.

Пример 5. Номенклатура листа. Обозначение N-37-II читается так: N — ряд широт (пояс 52°–56° с. ш.), 37 — колонна долгот (36°–42° в. д.), II — номер листа масштаба 1 : 500 000 внутри миллионного листа. Вывод: номенклатура заменяет длинное описание территории коротким кодом и позволяет быстро найти нужный лист в хранилище карт.

Таблица

Типичные ошибки

Забытый квадрат при расчёте площади. Ученик умножает площадь в см² сразу на линейное значение. Причина — перенос правила расстояний на площадь. Неправильно: 12 см² × 5 км = 60 км². Правильно: 12 см² × 25 км² = 300 км².

Путаница «крупный — мелкий». Масштаб 1 : 1 000 000 называют крупным, потому что число большое. Причина — сравнение знаменателей вместо дробей. Правильно: чем больше знаменатель, тем мельче масштаб и меньше подробностей.

Ошибка в количестве нулей. При переводе 1 : 50 000 получают «в 1 см 50 км». Причина — зачёркивание нулей наугад. Правильно: убираем пять нулей — 1 : 50 000 → в 1 см 0,5 км, или 500 м.

Измерение извилистой линии линейкой. Длину реки или дороги меряют по прямой. Причина — линейка не гнётся. Правильно: приложить нитку по всем изгибам, затем распрямить её и измерить, либо использовать курвиметр.

Смешение единиц в записи. Пишут «в 1 см 100 000 см». Причина — механическое переписывание знаменателя. Правильно: именованный масштаб всегда выражают в метрах или километрах — «в 1 см 1 км».

Пошаговый алгоритм

1. Найдите масштаб карты в её нижней части.
2. Переведите численный масштаб в именованный, зачеркнув два нуля (метры) или пять нулей (километры).
3. Измерьте нужный отрезок линейкой с точностью до 0,1 см; извилистую линию измерьте ниткой.
4. Для расстояния умножьте число сантиметров на именованный масштаб.
5. Для площади либо переведите стороны фигуры в метры и перемножьте, либо посчитайте клетки в см² и умножьте на площадь одного квадратного сантиметра.
6. Запишите ответ с единицами измерения: м, км, м², км², га.
7. Проверьте результат прикидкой: 5 см на карте 1 : 100 000 не могут дать 500 км — только 5 км.

Как запомнить

• «Два нуля долой — метры, пять нулей долой — километры» — быстрый перевод численного масштаба.
• «Сантиметр в квадрате — километр в квадрате» — напоминание возводить масштаб в квадрат при расчёте площади.
• Формула расстояния: Д = д × М, где д — длина на карте в см, М — именованный масштаб.
• Формула площади: S = s × М², где s — площадь на карте в см².
• Чем меньше знаменатель — тем ближе карта к местности: план двора подробнее карты мира.
• Номенклатура читается «сверху вниз»: буква ряда → номер колонны → номер внутреннего листа.