Импульс тела. Закон сохранения импульса — тренажёр для 9 класса

Определение

Импульс тела — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, характеризующая запас механического движения при взаимодействиях. Обозначается символом p, вычисляется по формуле p = mv, направлен всегда туда же, куда направлен вектор скорости.

Единица импульса в СИ — килограмм-метр в секунду (кг·м/с). Размерный разбор: [p] = [m]·[v] = кг · м/с. Именованной единицы у импульса нет, поэтому в ответе пишут именно составную запись.

Место темы в курсе 9 класса определяется её ролью связующего звена: законы Ньютона описывают взаимодействие через силы, а закон сохранения импульса позволяет находить скорости после удара, не зная ни силы, ни времени её действия. На этом же законе строится объяснение реактивного движения — от каракатицы до многоступенчатой ракеты.

Ключевые правила

Закон сохранения импульса утверждает: векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остаётся постоянной при любых взаимодействиях внутри системы.

1. Импульс тела вычисляется как p = mv. Пример: тележка массой 4 кг со скоростью 3 м/с обладает импульсом 12 кг·м/с.
2. Замкнутая (изолированная) система — система тел, на которую не действуют внешние силы либо их сумма равна нулю. Условие применимости закона: система замкнута или проекция внешних сил на выбранную ось равна нулю (например, трение отсутствует).
3. Импульс силы F·Δt равен изменению импульса тела: F·Δt = Δp = mv₂ − mv₁. Проверка размерности: Н·с = (кг·м/с²)·с = кг·м/с — совпадает с размерностью импульса.
4. Векторное равенство m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ = m₁u⃗₁ + m₂u⃗₂ при движении по прямой заменяется скалярным уравнением в проекциях на ось X, где скорости против оси берутся со знаком «минус».
5. Абсолютно неупругий удар — взаимодействие, после которого тела движутся как одно целое с общей скоростью; импульс сохраняется, кинетическая энергия частично переходит во внутреннюю.
6. Абсолютно упругий удар сохраняет и импульс, и кинетическую энергию; при равных массах тела обмениваются скоростями.
7. Реактивное движение возникает, когда от тела отделяется его часть с некоторой скоростью; оставшаяся часть приобретает импульс, равный по модулю и противоположный по направлению.

Разбор примеров

Пример 1. Расчёт импульса. Автомобиль массой 1200 кг движется со скоростью 20 м/с. Вычисляем: p = mv = 1200 · 20 = 24 000 кг·м/с. Импульс направлен вдоль движения. Вывод: импульс растёт пропорционально и массе, и скорости — гружёный грузовик на малой скорости может иметь тот же импульс, что и лёгкий мотоцикл на большой.

Пример 2. Импульс силы. Мяч массой 0,5 кг летит к стене со скоростью 10 м/с и отскакивает со скоростью 8 м/с; удар длится 0,02 с. Ось X направим по отскоку: v₁ₓ = −10 м/с, v₂ₓ = +8 м/с. Δp = m(v₂ₓ − v₁ₓ) = 0,5 · (8 + 10) = 9 кг·м/с. Тогда F = Δp/Δt = 9 / 0,02 = 450 Н. Вывод: знак скорости до удара обязателен, иначе изменение импульса занижается вдвое.

Пример 3. Абсолютно неупругий удар. Вагон массой 3000 кг катится со скоростью 4 м/с и сцепляется с неподвижным вагоном массой 1000 кг. Уравнение: m₁v₁ = (m₁ + m₂)u, отсюда u = 3000·4 / 4000 = 3 м/с. Проверка энергии: было 24 000 Дж, стало 18 000 Дж — 6000 Дж ушло на деформацию сцепки и нагрев. Вывод: импульс сохранился, механическая энергия — нет.

Пример 4. Упругий удар равных масс. Шар массой 0,2 кг со скоростью 6 м/с ударяет покоящийся такой же шар. Система из двух уравнений (импульс и энергия) даёт единственное решение: u₁ = 0, u₂ = 6 м/с. Вывод: при равных массах налетающий шар останавливается, покоившийся уносит весь импульс — механизм работы «маятника Ньютона».

Пример 5. Реактивное движение. Ракета массой 100 кг покоится и выбрасывает 2 кг газа со скоростью 400 м/с назад. Суммарный импульс до старта равен нулю, значит 0 = m_г·(−v_г) + m_р·u, откуда u = 2·400 / 98 ≈ 8,2 м/с. Вывод: скорость корпуса тем больше, чем больше масса и скорость истечения газов.

Таблица

Типичные ошибки

Сложение скоростей вместо импульсов. Ошибка возникает из-за привычки работать со скоростями напрямую. Неправильно: u = (4 + 0)/2 = 2 м/с. Правильно: складывают именно произведения mv, а сумму делят на общую массу.

Потеря знака при встречном движении. Импульс — вектор, но в тетради записывают числа. Неправильно: 3·4 + 1·2 = 4·u. Правильно при встречном движении: 3·4 − 1·2 = 4·u, то есть u = 2,5 м/с.

Применение закона к незамкнутой системе. Причина — игнорирование трения и внешнего толчка. Правильно: перед решением проверить, что внешние силы отсутствуют или их проекция на ось равна нулю (удар длится доли секунды — трением пренебрегают).

Сохранение кинетической энергии при неупругом ударе. Причина — смешение двух законов сохранения. Правильно: при слипании тел энергия убывает, второе уравнение записывать нельзя.

Путаница единиц. Неправильно: «импульс равен 450 Н». Правильно: 450 Н — сила, 9 кг·м/с — импульс, 9 Н·с — импульс силы (численно равен изменению импульса).

Пошаговый алгоритм

1. Выпишите массы и скорости всех тел до и после взаимодействия, переведите величины в СИ.
2. Проверьте замкнутость системы: назовите внешние силы и убедитесь, что их проекция на ось равна нулю.
3. Нарисуйте схему и выберите ось X, указав на ней направление каждой скорости.
4. Запишите закон сохранения импульса в проекциях, ставя «минус» перед скоростями, направленными против оси.
5. Для упругого удара добавьте уравнение сохранения кинетической энергии; для неупругого — замените правую часть на (m₁ + m₂)u.
6. Решите уравнение относительно неизвестной скорости, выразив её в буквенном виде.
7. Подставьте числа, вычислите результат и укажите единицу кг·м/с или м/с.
8. Проверьте ответ: знак результата показывает направление, порядок величины скорости после удара не может превышать наибольшую начальную скорость (кроме случая реактивного отделения).

Как запомнить

• Формула-ядро: p = mv, «пэ» = «масса × скорость».
• Связка второго закона Ньютона с импульсом: F·Δt = Δp — «сила, помноженная на время, меняет импульс».
• Фраза-ключ для замкнутой системы: «внутри — что угодно, снаружи — ничего».
• Правило слипания: «слиплись — значит, одна скорость, одно уравнение».
• Правило равных масс при упругом ударе: «обменялись скоростями».
• Реактивный образ: отпущенный воздушный шарик летит вперёд ровно потому, что воздух уходит назад — сумма импульсов остаётся нулевой.