Арифметическая прогрессия (формула n-го члена, сумма) — тренажёр для 9 класса

Раздел 1 — Определение

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой *d*.

Формальная запись определения: последовательность (aₙ) называется арифметической, если для всех натуральных n выполняется равенство aₙ₊₁ = aₙ + d, где d — постоянное число. Отсюда сразу следует способ вычисления разности: d = aₙ₊₁ − aₙ, то есть из последующего члена вычитают предыдущий.

Знак разности управляет поведением прогрессии: при d > 0 последовательность возрастает (3; 7; 11; 15), при d < 0 — убывает (20; 17; 14; 11), при d = 0 все члены равны (5; 5; 5; 5). Такая последовательность бесконечна, если не оговорено иное, но в задачах чаще работают с её первыми n членами.

Место темы в курсе алгебры 9 класса — переход от отдельных числовых выражений к последовательностям как функциям натурального аргумента. Формула aₙ = a₁ + (n − 1)d задаёт линейную функцию от n, поэтому график арифметической прогрессии — набор точек на одной прямой.

Раздел 2 — Ключевые правила

Арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом a₁ и разностью d — зная их, можно вычислить любой член и любую сумму.

1. Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Множитель (n − 1) — количество шагов от первого члена до n-го. Пример: a₁ = 5, d = 3, тогда a₁₀ = 5 + 9 · 3 = 32.
2. Формула разности: d = aₙ₊₁ − aₙ. Для любых двух членов с номерами m и k: d = (aₖ − aₘ) / (k − m). Пример: a₄ = 14, a₉ = 34 → d = (34 − 14) / (9 − 4) = 4.
3. Сумма через крайние члены: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Применяется, когда известен последний член. Пример: a₁ = 2, a₁₀ = 29 → S₁₀ = 10 · 31 / 2 = 155.
4. Сумма через разность: Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. Применяется, когда aₙ неизвестен. Пример: a₁ = 1, d = 2, n = 6 → S₆ = 6(2 + 10)/2 = 36.
5. Характеристическое свойство: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 при n ≥ 2. Каждый член — среднее арифметическое соседей. Обратное тоже верно: если это равенство выполняется для всех членов, последовательность арифметическая.

Раздел 3 — Разбор примеров

Пример 1. Нахождение члена по номеру. Дано: a₁ = 7, d = 4. Найти a₂₅. Подставляем в формулу: a₂₅ = 7 + (25 − 1) · 4 = 7 + 96 = 103. От первого члена до двадцать пятого сделано именно 24 шага, а не 25. Вывод: количество прибавлений разности всегда на единицу меньше номера члена.

Пример 2. Восстановление прогрессии по двум членам. Дано: a₃ = 11, a₇ = 27. Между третьим и седьмым членами 7 − 3 = 4 шага, суммарный прирост 27 − 11 = 16, значит d = 16 / 4 = 4. Далее a₁ = a₃ − 2d = 11 − 8 = 3. Вывод: два любых члена задают систему, из которой находятся a₁ и d.

Пример 3. Сумма первых n членов. Дано: a₁ = 3, d = 4, n = 20. Последний член aₙ неизвестен, поэтому берём вторую формулу: S₂₀ = 20(2 · 3 + 19 · 4)/2 = 10 · (6 + 76) = 820. Проверка через первую формулу: a₂₀ = 3 + 19 · 4 = 79, S₂₀ = 20(3 + 79)/2 = 820. Вывод: обе формулы дают одинаковый результат, выбирают ту, где меньше вычислений.

Пример 4. Характеристическое свойство. При каком x числа x − 2, 3x + 1, 7x − 4 образуют арифметическую прогрессию? Средний член равен полусумме крайних: 2(3x + 1) = (x − 2) + (7x − 4). Раскрываем: 6x + 2 = 8x − 6, отсюда 2x = 8, x = 4. Проверка: 2; 13; 24, разность d = 11 постоянна. Вывод: характеристическое свойство превращает задачу о прогрессии в линейное уравнение.

Пример 5. Сумма чисел с условием. Найти сумму двузначных чисел, кратных 7. Эти числа образуют прогрессию 14; 21; …; 98 с d = 7. Число членов: n = (98 − 14)/7 + 1 = 13. Сумма: S₁₃ = 13(14 + 98)/2 = 13 · 56 = 728. Вывод: формула n = (aₙ − a₁)/d + 1 даёт количество членов до вычисления суммы.

Пример 6. Проверка принадлежности числа. Является ли 100 членом прогрессии 2; 5; 8; …? Здесь a₁ = 2, d = 3, aₙ = 3n − 1. Уравнение 3n − 1 = 100 даёт n = 101/3 — не натуральное число. Вывод: число принадлежит прогрессии только при натуральном решении уравнения.

Раздел 4 — Таблица формул и их применения

Раздел 5 — Типичные ошибки

Умножение разности на n вместо (n − 1). Ошибка возникает из-за смешения номера члена и числа шагов. Неправильно: a₁₀ = 5 + 10 · 3 = 35. Правильно: a₁₀ = 5 + 9 · 3 = 32.

Вычисление разности как a₁ − a₂. Порядок вычитания перевёрнут, знак d получается противоположным. Для 10; 7; 4 неправильно: d = 10 − 7 = 3. Правильно: d = 7 − 10 = −3, прогрессия убывает.

Потеря деления на 2 в формуле суммы. Формулу запоминают как «n умножить на сумму крайних», забывая, что берётся среднее арифметическое. Неправильно: S₁₀ = 10 · (2 + 29) = 310. Правильно: S₁₀ = 10 · 31/2 = 155.

Подмена aₙ суммой Sₙ. В условии «найдите десятый член» вычисляют сумму десяти членов. Различие: aₙ — одно число последовательности, Sₙ — результат сложения n чисел. Для a₁ = 3, d = 4: a₂₀ = 79, а S₂₀ = 820.

Деление на неверную разность индексов. При переходе от a₃ к a₇ считают пять шагов вместо четырёх. Правильно: число шагов равно 7 − 3 = 4, поэтому d = (a₇ − a₃)/4.

Раздел 6 — Пошаговый алгоритм решения

1. Выпишите из условия известные величины: a₁, d, n, aₙ, Sₙ — и отметьте искомую.
2. Проверьте, задана ли прогрессия перечислением; если да, вычислите d = a₂ − a₁ и подтвердите её постоянство по третьей паре.
3. Если a₁ или d неизвестны, составьте уравнение (или систему) по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d, используя данные члены.
4. Найдите недостающую основную величину — a₁ или d.
5. Для задачи о члене прогрессии подставьте a₁, d, n в формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d.
6. Для задачи о сумме выберите формулу: при известном aₙ — Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, иначе Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.
7. Если количество членов не дано, вычислите его: n = (aₙ − a₁)/d + 1; n обязано быть натуральным.
8. Проверьте результат: подставьте ответ во вторую формулу суммы или проверьте характеристическое свойство aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 для найденных членов.

Раздел 7 — Как запомнить

Ключ к формуле n-го члена — фраза «шагов на один меньше, чем членов»: между 1-м и n-м членом ровно (n − 1) промежутков, как между столбами и пролётами забора.

Формула суммы читается как «среднее крайних, умноженное на количество»: (a₁ + aₙ)/2 — среднее арифметическое первого и последнего, а умножение на n даёт всю сумму. Приём восходит к способу Гаусса: 1 + 2 + … + 100 — это 50 пар по 101, то есть 5050.

Характеристическое свойство удерживается словом «середина»: средний из трёх соседних членов лежит ровно посередине между крайними, поэтому 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁ — удобная форма для уравнений без дробей.

Опорный минимум для памяти: d = aₙ₊₁ − aₙ, aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Вторая формула суммы выводится из третьей подстановкой aₙ, запоминать её отдельно не требуется.